主题：王元院士专题学术报告

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- H. Montgomery

三. 素数的分布

一个复数域上的函数 - Riemann ζ 函数 - 的非平凡零点 (以后将简称为零点) 的分布怎么会与风马牛不相及的自然数域中的素数分布产生关联呢？ 这还得从 Euler 乘积公式 谈起。

我们知道， 早在古希腊时代， Euclid 就用精彩的反证法证明了素数有无穷多个。 随着数论研究的深入， 人们很自然地对这些素数在自然数域中的分布产生了越来越浓厚的兴趣。 1737 年， 著名数学家 Leonhard Euler (1707-1783) 在圣彼得堡科学院 (St. Petersburg Academy) 发表了一个极为重要的公式， 为数学家们研究素数分布的规律奠定了基础。 这个公式就是 Euler 乘积公式：

Σn n-s = Πp(1-p-s)-1

公式中左边的求和对所有的自然数进行， 右边的连乘积对所有的素数进行。 可以 证明， 这个公式对所有 Re(s)>1 的复数 s 都成立。 这个公式的左边正是我们在 上文 中介绍过的 Riemann ζ 函数， 而右边则是一个纯粹有关素数 (且包含所有素数) 的表达式， 这样的形式正是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆。 那么这个公式究竟蕴涵着有关素数分布的什么样的信息呢？ Riemann ζ 函数的零点又是如何出现在这种关联之中的呢？ 这就是本节及未来几节所要介绍的内容。

Euler 本人率先对这个公式所蕴涵的信息进行了研究。 他注意到在 s=1 的时候， 公式的左边 - Σn n-1 - 是一个发散级数 (这是一个著名的发散级数， 称为调和级数)， 这个级数以对数方式发散。 这些对于 Euler 来说都是不陌生的。 为了处理公式右边的连乘积， 他对公式两边同时取了对数， 于是连乘积变成了求和， 由此他得到：

ln (Σn n-1) = -Σp ln(1 - p-1) = Σp (p-1 + p-2/2 + p-3/3 + ... ...)

由于上式右端括号中除第一项外所有其它各项的求和都收敛， 而且这些求和的结果累加在一起仍然收敛 (有兴趣的读者不妨自己证明一下)。 因此右边只有第一项的求和是发散的。 由此 Euler 得到了这样一个有趣的渐近表达式：

Σp p-1 ~ lnln(∞)

或者， 更确切地说：

Σp<N p-1 ~ lnln(N)

这个结果 - 即 Σp p-1 以 lnln(N) 的方式发散 - 是继 Euclid 证明素数有无穷多个以来有关素数的又一个重要的研究结果。 它同时也是对素数有无穷多个这一命题的一种崭新的证明 (因为假如素数只有有限多个， 则求和就只有有限多项， 不可能发散)。 但 Euler 的这一新证明所包含的内容要远远多于 Euclid 的证明， 因为它表明素数不仅有无穷多个， 而且其分布要比许多同样也是无穷的序列 - 比如 n2 序列 - 密集得多 (因为后者的倒数之和收敛)。 不仅如此， 如果我们进一步注意到上式的右端可以改写为一个积分表达式：

lnln(N) ~ ∫ x-1ln-1(x) dx

而左端通过引进一个素数分布的密度函数 ρ(x) - 它给出在 x 附近单位区间内发现素数的几率 - 也可以改写为一个积分表达式：

Σp<N p-1 ~ ∫ x-1ρ(x) dx

将这两个积分表达式进行比较， 不难猜测到素数的分布密度为 ρ(x)~1/ln(x)， 从而在 x 以内的素数个数 - 通常用 π(x) 表示 - 为：

π(x) ~ Li(x)

其中 Li(x) ≡ ∫ ln-1(x) dx 是对数积分函数[注一]。 这正是著名的素数定理 (当然这种粗略的推理并不构成素数定理的证明)。 因此 Euler 发现的这个结果可以说是一扇通向素数定理的暗门。 可惜 Euler 本人并没有沿着上面的思路走， 从而错过了这扇暗门， 数学家们提出素数定理的时间也因此而延后了几十年。

素数分布与素数定理

提出素数定理的这份荣誉最终落到了另外两位数学家的肩上： 他们是德国数学家 Friedrich Gauss (1777-1855) 和法国数学家 Adrien-Marie Legendre (1752-1833)。

Gauss 对素数分布的研究始于 1792 到 1793 年间， 那时他才 15 岁。 在那期间， 每当“无所事事” 的时候 Gauss 就会挑上几个长度为一千的自然数区间， 计算这些区间中的素数个数， 并进行比较。 在做过了大量的计算和比较后， Gauss 发现素数分布的密度可以近似地用对数函数的倒数来描述， 即 ρ(x)~1/ln(x)， 这正是上面提到的素数定理的主要内容。 但是 Gauss 并没有发表这一结果。 Gauss 是一个追求完美的数学家， 他很少发表自己认为还不够完美的结果， 而他的数学思想和灵感犹如浩瀚奔腾的江水， 汹涌激荡， 常常让他还没来得及将一个研究结果完美化就又展开了新课题的研究。 因此 Gauss 一生所做的数学研究远远多过他正式发表的。 但是另一方面， Gauss 常常会用其它的方式 - 比如通过书信 - 透露自己的某些未发表的研究成果， 他的这一做法给一些与他同时代的数学家带来了不小的尴尬。 其中 “受灾” 较为深重的一位便是 Legendre。 这位法国数学家在 1806 年率先发表了线性拟合中的最小平方法， 不料 Gauss 在 1809 出版的一部著作中提到自己曾在 1794 年 (即比 Legendre 早了 12 年) 就发现了同样的方法。 使 Legendre 极为不快。

有道是： 不是冤家不聚首。 在素数定理的提出上， 可怜的 Legendre 又一次不幸地与数学巨匠 Gauss 撞到了一起。 Legendre 在 1798 年发表了自己关于素数分布的研究， 这是数学史上有关素数定理的最早的文献[注二]。 由于 Gauss 没有发表自己的研究结果， Legendre 便理所当然地成为了素数定理的提出者。 Legendre 的这个优先权一共维持了 51 年。 到了 1849 年 Gauss 在给德国天文学家 Johann Encke (1791-1865) 的一封信中提到了自己在 1792 至 1793 年间的研究， 从而把尘封了半个世纪的优先权从 Legendre 的口袋中勾了出来， 挂到了自己已经鼓鼓囊囊的腰包上。

幸运的是， Gauss 给 Encke 写信的时候 Legendre 已经去世十六年了， 他用最无奈的方法避免了再次遭受残酷的打击。

无论 Gauss 还是 Legendre， 他们对于素数分布规律的研究都是以猜测的形式提出的 (Legendre 的研究带有一定的推理成份， 但离证明仍相距甚远)。 因此确切地说， 素数定理在那时只是一个猜想 - 素数猜想， 我们所说的提出素数定理指的也只是提出素数猜想。 素数定理的数学证明直到一个世纪之后的 1896 年， 才由法国数学家 Jacques Hadamard (1865-1963) 与比利时数学家 Charles de la Vallée-Poussin (1866-1962) 彼此独立地给出。 他们的证明与 Riemann 猜想有着很深的渊源， 其中 Hadamard 的证明出现的时机和场合还富有很大的戏剧性， 这些我们将在后文中加以叙述。

素数定理是简洁而且优美的， 但是它对于素数分布的描述仍然是比较粗略的， 它给出的只是素数分布的一个渐近形式 - 也就是说是当 N 趋于无穷时的分布形式。 从前面有关素数分布与素数定理的图示中我们也可以看到， π(x) 与 Li(x) 之间是有偏差的， 而且这种偏差的绝对值随着 x 的增加似有持续增加的趋势 (所幸的是， 这种偏差的增加与 π(x) 及 Li(x) 本身的增加相比仍然是微不足道的 - 否则素数定理也就不成立了)[注三]。

那么有没有一个公式可以比素数定理更精确地描述素数的分布呢？ 这便是 Riemann 在 1859 年想要回答的问题。 那一年是 Gauss 去世后的第五年， 32 岁的 Riemann 继 Johann Dirichlet (1805-1859) 之后成为了 Gauss 在 Göttingen 大学的继任者。 同年八月十一日， 他被选为柏林科学院 (Berlin Academy) 的通信院士 (Corresponding Member)。 作为对这一崇高荣誉的回报， Riemann 向柏林科学院提交了一篇论文。 这是一篇只有短短八页的论文， 标题是： 论小于给定数值的素数个数。 正是这篇论文将 Euler 乘积公式 蕴涵的信息破译得淋漓尽致， 也正是这篇论文将 Riemann ζ 函数的零点分布与素数的分布联系在了一起。

这篇论文注定要把人们对素数分布的研究推向壮丽的巅峰， 并为后世的数学家们留下一个魅力无穷的伟大谜团。

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- H. Montgomery

四. Riemann 的论文 - 基本思路

终于到了 Riemann 的论文登场的时候！ 如果让数学家们来评选几篇数学史上意义深远却又最为难读的论文， 那么我想 Riemann 1859 年的那篇 “论小于给定数值的素数个数” 就算不名列榜首， 起码也要挤身三甲。 现在就让我们来一起领略一下那篇数学史上出名难啃的论文的主要内容。 我们的叙述将采用较为现代的术语和方式， 所用的记号将与前文保持一致， 因此与 Riemann 的原始论文不尽相同 (但主要思路是一致的)。 这一点请有兴趣阅读 Riemann 原文的读者注意。

如 上节 所述， Euler 乘积公式：

ζ(s) ≡ Σn n-s = Πp(1-p-s)-1

是研究素数分布规律的基础。 Riemann 的研究也以这一公式作为起点。 为了消除右边的连乘积， Euler 曾对公式两边取对数， Riemann 也如法泡制 (看来连乘积真是人见人恨)， 从而得到：

lnζ(s) = -Σp ln(1 - p-1) = ΣpΣn [(1/n) p-ns]

过了这步， 两人就分道扬镳了： Euler - 如我们在 上节 所见 - 小试身手， 证明了素数有无穷多个， 然后就喜滋滋地鸣金收兵了； 而 Riemann 则沿着一条布满荆棘的道路继续走了下去， 走出了素数研究的一片崭新的天地。

可以证明， 上式右边的双重求和在复平面上 Re(s)>1 的区域内是绝对收敛的， 并且可以改写成 Stieltjes 积分 (有兴趣的读者可自行证明)：

其中 J(x) 是一个特殊的阶梯函数， 它在 x=0 取值为零， 以后每越过一个素数就增加 1， 每越过一个素数的平方就增加 1/2， ... ， 每越过一个素数的 n 次方就增加 1/n，... 。 在 J(x) 不连续的点 (即 x 等于素数、 素数的平方、... 、素数的 n 次方 ... 的点) 上其函数值用 J(x)=(1/2)[J(x-)+J(x+)] 来定义。 显然， 这样的一个阶梯函数可以用素数分布函数 π(x) 表示为：

J(x) = Σn [(1/n)π(x1/n)]

对上述 Stieltjes 积分进行一次分部积分便可得到：

这个公式的左边是 Riemann ζ 函数的自然对数， 右边则是对 J(x) - 一个与素数分布函数 π(x) 有直接关系的函数 - 的积分， 它可以被视为 Euler 乘积公式 的积分形式。 我们得到这一结果的方法与 Riemann 有所不同， Riemann 发表论文时还没有 Stieltjes 积分 - 那时候 Thomas Stieltjes (1856-1894) 才三岁。

如果说传统形式下的 Euler 乘积公式 只是 Riemann ζ 函数与素数分布之间存在关联的征兆， 那么在这个积分形式的 Euler 乘积公式 下这两者之间的关联就已是确凿无疑并且完全定量了。 接下来首先要做的显然是从上述积分中解出 J(x) 来， 这在当时的数学背景下并不容易， 但却难不倒象 Riemann 这样的复变函数论大师。 他解出的 J(x) 是 (学过复变函数论的读者不妨试着证明一下)：

其中 a 为大于 1 的实数。 这是一个条件收敛的积分， 它的确切定义是从 a-ib 积分到 a+ib (b 为正实数)， 然后取 b→∞ 的极限。 当 Riemann 写下这个公式时， 只是轻描淡写地提了一句： 这是完全普遍的。 听上去就象是在叙述一个尽人皆知的简单事实。 而事实上， 与 Riemann 所说的普遍性相匹配的完整结果直到四十年后才由芬兰数学家 Robert Mellin (1854-1933) 所发表， 现在被称为 Mellin 变换 (Mellin Transform)。 象这样一种被 Riemann 随手写下、 却让数学界花费几十年甚至上百年的时间才能证明的命题在 Riemann 的那篇论文中还有好几处。 这是 Riemann 那篇论文的一个极为突出的特点： 它有一种高屋建瓴的宏伟视野， 远远地超越了同时代的其他数学文献。 它那高度浓缩的文句背后包含着的极为丰富的数学结果， 让后世的数学家们陷入了漫长的深思之中。 直到今天， 我们的数学在整体上虽已远非 Riemann 时代可比， 但数学家们仍未能完全理解 Riemann 在那篇短短八页的简短论文中显露出的全部智慧。 J(x) 的表达式是我们碰到的 Riemann 论文中的结果超前于时代的第一个例子 [注一]， 在 下一节 中我们将遇到其它例子。

在一代代的后世数学家们为那些被 Riemann 省略掉的证明而失眠的时候， 他们中的一些也许会联想到 Pierre de Fermat (1601-1665)。 这位法国数学家在 Diophantus 的 «Arithmetica» 页边上写下著名的 Fermat 猜想 (Fermat's Last Theorem) 的时候， 随手加了一句话： “我发现了一个真正出色的证明， 可惜页边太窄写不下来” [注二]。 令人尴尬的是， Fermat 的猜想自 1670 年被他儿子公诸于世 (那时他本人已经去世) 以来， 竟然难倒整个数学界长达 324 年之久， 直到 1994 年才被英国数学家 Andrew Wiles 所证明。 但 Wiles 的证明篇幅浩繁， 莫说在 «Arithmetica» 的页边上写不下来， 即便把整个大英百科全书的页边加起来， 也未必写得下来。 现在人们普遍认为， Fermat 并没有找到 Fermat 猜想的证明， 他自以为找到的那个 “真正出色的证明” 只是三百多年间无数个错误证明中的一个。 那么 Riemann 的情形会不会也象 Fermat 一样呢？ 他的那些省略掉的证明会不会也象 Fermat 的那个 “真正出色的证明” 一样呢？ 从目前人们对 Riemann 的研究来看， 答案是否定的。 Riemann 作为堪与 Gauss 齐名的有史以来最伟大的数学家之一， 他的水平远非 Fermat 可比。 而且人们在对 Riemann 的部分手稿进行研究时发现， Riemann 对自己论文中的许多语焉不详的命题是做过扎实的演算和证明的， 只不过他和 Gauss 一样追求完美， 发表的东西远远少于自己研究过的。 更令人钦佩的是， Riemann 手稿中一些演算和证明哪怕是时隔了几十年之后才被整理出来， 却仍然大大超越当时数学界的水平。 因此我们有一定的理由相信， Riemann 在论文中以陈述而不是猜测的语气表述的内容 - 不论有没有给出证明 - 都是有着深入的演算和证明背景的。

好了， 现在回到 J(x) 的表达式来， 这个表达式给出了 J(x) 与 Riemann ζ 函数之间的确切关联。 换句话说， 只要知道了 ζ(s)， 通过这个表达式原则上就可以计算出 J(x)。 知道了 J(x)， 下一步显然就是计算 π(x)。 这并不困难， 因为上面提到的 J(x) 与 π(x) 之间的关系式可以通过所谓的 Möbius 反演 (Möbius Inversion) 解出， 结果为：

π(x) = Σn [μ(n)/n] J(n1/n)

其中 μ(n) 被称为 Möbius 函数， 它的取值如下：

μ(1) = 1。 μ(n) = 0 如果 n 可以被任一素数的平方整除。 μ(n) = -1 如果 n 是奇数个不同素数的乘积。 μ(n) = 1 如果 n 是偶数个不同素数的乘积。

因此知道了 J(x) 就可以计算出 π(x)， 即素数的分布函数。 把这些步骤连接在一起， 我们看到， 从 ζ(x) 到 J(x)， 再从 J(x) 到 π(x)， 素数分布的秘密完全定量地蕴涵在了 Riemann ζ 函数之中。 这就是 Riemann 研究素数分布的基本思路。 在 下一节 中， 我们将进一步深入 Riemann 的论文， 让那些千呼万唤犹未露面的 Riemann ζ 函数的零点显露在我们的镁光灯下。

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