标题：图像处理中的数学问题

在图像处理的发展过程中，数学始终起着举足轻重的作用，并渗透在图像处理的所有分支之中。

到上世纪六七十年代为止，以Fourier分析为代表的线性处理方法占据了几乎整个数字图像处理领域。在此期间，借助于随机过程理论，人们建立了图像模型通过概率论以及在此基础上建立的信息论建立了图像编码的框架；线性滤波（维纳滤波、卡尔曼滤波）方法为低层图像处理提供了有力的理论支持；而FFT则被广泛使用在图像处理的几乎所有分支中。这些数学工具极大地促进了图像处理的发展和应用。

自上世纪八十年代开始，非线性科学开始逐渐渗透到图像处理方法之中，许多新颖的数学工具被引入到图像处理领域，使相关的理论变得多元化。尤其以小波和多尺度分析为代表的信息处理方法，继承和发展了Fourier分析，将函数论和逼近论的最新成果应用在工程应用中，建立起了完整的系统框架，在图像编码、图像分割、纹理识别、图像滤波、边缘检测、特征提取和分析等方面的应用中，已经取得了非凡的成果。目前，小波分析方法业已成为信号处理的基础理论之一

同时，其他非线性的数学工具的应用也取得丰硕的成果：如分形在图像编码和纹理识别中的应用，李群在动态图像弹性形变识别中的应用，多尺度分析在图像检索和识别中的应用，非线性规划在矢量量化和图像编码中的应用等等。另外，图像确定性模型（BV 模型）的建立、模糊数学对图像质量的评价体系、Meaningful理论对图像距离的研究是对图像本质的进一步刻划，使计算机可以更贴切地描述人类的视觉系统。

特别的，基于非线性发展（偏微分）方程的图像处理方法成为近年来图像研究的一个热点。它从分析图像去噪的机理入手，结合数学形态学微分几何、射影几何等数学工具，建立了滤波和偏微分方程相关的公理体系。另外，它在图像重构、图像分割、图像识别、遥感图像处理、图像分析、边缘检测、图像插值、医学图像处理、动态图像修补、立体视觉深度检测、运动分析等方面得到了一定的应用。在研究过程中，人们介绍了一些概念，如active coutour(snake)，level set(level line)等，把数学和图像有机地联系起来。

另一方面，图像处理的实际需求和工程背景也刺激了一些数学分支的发展，如小波理论的研究动力来源于信号处理中对于时频局部化分析的需求，而且在理论体系建立起来之前已经有了广泛的应用；偏微分方程的粘性解概念的提出也是因为在图像处理的应用中应用条件不满足各种微分学中的假设；对于投影几何的研究也由于图像Moisaic的需求变得细致。

近年来，我国高校的数学系设置了信息与科学计算专业，甚至如北京大学数学科学院信息科学系。作为一个近年快速发展的新学科，它运用近代数学方法和计算机技术解决信息科学领域中的问题，应用十分广泛。图像处理是其中一个非常重要的方向，许多学校都把图像处理作为一个重点发展方向。但是，目前还存在一些问题：一方面，数学系的研究人员对于图像发展以及背景的了解不够深刻；另一方面，数学系中新建的专业和图像处理领域的交流沟通还不是很通畅，因而对于图像处理领域中的一些热点问题的了解还不够及时和全面。

进入本世纪以后，随着计算机的和Internet网络技术的飞速发展，图像处理的发展也进入了一个新的飞跃阶段。同时，图像处理和计算机视觉的工程应用中还有许多问题尚待解决。为了进一步关注图像处理领域中涉及的数学问题，并使数学研究人员对相关数学问题的工程背景有所了解，1999中国科学院自动化研究所举办了相关的暑期班，2003年西安交通大学理学院举办了图像处理的数学问题研讨班，2004年在浙江大学数学科学研究中心举办“图像处理中的数学问题”讲习班，2004年，河南大学数学院举办了以＂数学与图像处理＂为主题的国际会议，2007年，偏微分方程在图像处理中的应用国际会议在广东韩山师范学院成功举办．（未完待续）

Level Set的适用范围：

　　这儿只是列举一些经典的领域，但并不完全，如果你能在自己的领域找到新的应用，祝贺你。 Level Set最初始的应用领域就是隐含曲线（曲面）的运动，现在Level Set已经广泛应用于图像恢复、图像增强、图像分割、物体跟踪、形状检测与识别、曲面重建、最小曲面、最优化以及流体力学中的一些东西。

Level Set需要掌握的知识：

　　学习和应用Level Set需要掌握偏微分方程理论及其数值化方法，其中又应该着重掌握偏微分方程中的Conversation Law，The Theory of Viscosity Solution(粘性溶液 ) and Hamilton-Jacobi Equation( 哈密尔顿-雅可比方程 )及其数值化方法。同时，在学习Level Set的时候也会经常遇到变分法和测度论的一些内容，但对这两方面的要求不高，了解一下就行了。

Level Set的推荐读物：

（1） Stanley Osher and Ronald Fedkiw. Level Set Methods and Dynamic Implicit Surfaces. Springer-Verlag (2002). 评点：这本书是创始人之一Osher写的，这本书是论述Level Set的最完整的书籍之一，更偏重于数值化的高精度解，应用领域涉及图像处理以及计算物理。
（2） James A. Sethian. Level Set Methods and Fast Marching Methods. Cambridge University Press (1999). 评点：这是另外一个创始人Sethian的作品，与Osher的书互有侧重，互相补充，这本书更偏重于Fast Marching Methods, 非结构化网格，涉及的应用领域更广泛。
（3） Guillermo Sapiro, Geometric Partial Differential Equations and Image Analysis, Cambridge University. 评点：这本书对理解Level Set也非常有帮助，它更偏重于图像中的几何特征，如曲率等，对几何偏微分方程介绍的比较详细。
（4） Gilles Aubert and Pierre Kornprobst，
Mathematical problems in image processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variation, Springer, Applied Mathematical Sciences, Vol 147, 2002。这本书数学味太浓，一般人没兴趣读下去，但如果你确实想对你的方法奠定更好的理论基础，这本书就非常有用了，它可以指导你应该在哪方面下功夫。另外，这边书的前言和第一章写的非常好，非常值得一读。
总评：（1）和（2）是学习Level Set常备案头的手册， 如果你想深入，（3）和（4）也应该看一看。

Level Set推荐文章

（1） Osher, S., and Sethian, J.A., Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton–Jacobi Formulations, Journal of Computational Physics, 79, pp. 12–49, 1988. 评点：这是开创Level Set的一篇文章，必读。
http://math.berkeley.edu/~sethian/Publications/publications.html
这儿可以下载，但是这儿下载的文章只有文字没有图，要想看真正原版的，到图书馆复印吧。

（2） Osher, S. and Fedkiw, R., “Level Set Methods: An Overview and Some Recent Results”, J. Comput. Phys. 169, 463-502 (2001). 评点：这是一篇比较早的综述，UCLA CAM Report 00-08。
http://www.math.ucla.edu/%7Eimagers/htmls/reports.html可以下载。

（3） Richard Tsai and Stanly Osher，level set methods and their applications in image science，COMM. MATH. SCI. Vol. 1, No. 4, pp. 623-656 评点：这篇综述内容更丰富些，结果也比较新。intlpress.com/CMS/issue4/levelset_imaging_chapter.pdf 可以下载。
总评：关于Level set的文章太多，无法一一列举，强烈建议到下面的网址逛一逛，那儿有最新的文章。http://www.math.ucla.edu/~imagers/reports.htm

Level Set推荐网站：

（1）http://math.berkeley.edu/~sethian/level_set.html
评点：这是Sethian的网站，上面关于Level Set的论述非常多，分门别类，非常清晰。
（2）http://www.math.ucla.edu/~imagers/
评点：这是UCLA的研究组，由Osher创办，关于Level Set的新进展几乎都跟他们相关，这个网站是关注Level Set的最新新闻的最好的地方。

Level Set的工具包：
http://www.cs.ubc.ca/~mitchell/ToolboxLS/index.html评点：这是Michell开发的工具包，通用性比较好，缺点是自己修改起来非常麻烦。建议自己重新写这些函数，可以把这个工具包拿来验证自己写的对否。