主题：全国工程硕士数学专家组文件

工程硕士学位标准中关于数学的素养和能力方面的基本要求

工程硕士研究生《数理统计》课程教学基本要求

一、概  况

开课形式：课堂讲授为主。

课程主要内容：概率论概述，数理统计的基本概念，参数估计，假设检验，回归分析，方差分析。

参考学时：54学时或36学时，36学时的可略去打*号的内容。

适用专业学科：所有专业。

先修课程：高等数学，线性代数，概率论。

教材与参考教材：

二、课程性质和目的

数理统计是以概率论为基础，研究如何对随机现象进行观测或试验，获得有代表性的数据，以及如何对这些数据整理和分析，以便推断出随机现象的性质和统计规律性。数理统计在国民经济和科学技术中起着重要的作用。设置本课程的目的是使学生通过《数理统计》课程的学习，掌握处理随机现象的基本方法，运用数理统计的思想、原理和方法从事科学研究，解决生产实际中的具体问题。

三、课程内容和要求

1. 概率论概述（6学时）

  复习概率论的主要内容。例如：随机事件及其运算；概率及其性质；随机变量及其概率分布；随机变量的其数学期望与方差；多维随机变量及其概率分布；协方差与相关系数。

2. 数理统计的基本概念（8学时）

(1) 理解总体、个体、样本和统计量的概念。

(2) 了解直方图的作法，了解经验分布函数。

(3) 理解统计量的概念，理解样本均值、样本方差的概念，了解样本原点矩、样本k阶中心矩、次序统计量的概念。

(4) 理解Χ ²分布、t分布、F分布的定义及性质，并会查表计算分位数。

(5) 了解正态总体的某些常用抽样分布，如正态总体样本产生的标准正态分布、及有关样本均值、样本方差的分布

(6)* 了解非正态总体大样本情形时样本均值的近似分布。

3. 参数估计（12学时）

(1) 理解点估计的概念，掌握矩估计法与极大似然估计法。

(2) 了解无偏性、有效性、一致性等估计量的评判标准。

(3) 理解区间估计的概念，会求单个正态总体均值与方差的置信区间，会求两个正态总体均值差与方差比的置信区间。

(4)* 了解一般总体大样本时的参数估计方法。

4.    假设检验（10学时）

(1) 理解假设检验的基本思想，掌握假设检验的基本步骤，了解假设检验可能产生的两类错误。

(2) 掌握单个正态总体均值与方差的假设检验，掌握两个正态总体均值差与方差比的假设检验。

(3) 了解总体分布假设的Χ ²检验法，会应用该方法进行分布拟合优度检验。

(4)* 会用Χ ²拟合优度检验法进行变量之间的独立性检验。

5.    回归分析（10学时）

(1) 理解一元线性回归模型及参数的最小二乘估计概念，理解经验线性回归方程。

(2) 了解最小二乘估计量的基本性质。

(3) 掌握一元线性回归系数的显著性检验（F检验与t检验）。

(4) 了解一元线性回归模型中的参数的区间估计，了解一元线性回归模型的预测与控制。

(5) 了解一元非线性回归问题化为一元线性回归问题的方法。

(6)* 了解多元线性回归分析的概念及方法。

6. 方差分析（8学时）

(1) 理解单因子方差分析的概念，理解平方和分解公式及各离差平方和及自由度的概念。

(2)* 了解双因子无交互作用下的方差分析的概念及计算方法。

(3)* 理解试验设计及统计思想，了解正交表，掌握安排正交设计的方法和步骤。

四、对学生能力培养的要求

   本课程针对低起点、覆盖面宽的特点，使学生掌握常用的统计原理和方法，提高运用统计分析方法和统计软件解决实际问题的能力。

一、概  况

开课形式：课堂讲授。

课程主要内容：预备知识，矩阵分解，矩阵函数与函数矩阵，特征向量与特征值的估计*，矩阵的广义逆*

参考学时：54学时或36学时，36学时的可略去打*号的内容。对于线性代数基础比较好的学生，在36学时内可以完成基本内容的前三部分的学习；对于54学时的学生可以根据各专业的需要选择第4、5部分作为学习内容，也可按照本工程领域课程学习需要选择适当的相关内容。

适用专业学科：各相关工程领域。

先修课程：高等数学、线性代数，

教材与参考教材：

二、课程的性质与任务

随着科学技术的发展，特别是计算机技术的提高与应用软件的迅速普及，无论是连续问题的离散化还是非线性问题的数值处理，矩阵理论都已得到广泛应用，已成为理论分析与科学计算的主要工具之一。本课程的目的是使学生掌握基本的矩阵理论、了解矩阵分析的基本方法以及相关知识，为各种后继课程的学习打下坚实的数学基础，为学习前沿科学理论与先进技术创造条件。

三、教学内容和基本要求

1． 预备知识（12学时）：

掌握基本的矩阵运算（包括初等矩阵的意义、矩阵的分块运算）；掌握矩阵及其运算的基本性质；掌握特征值与特征向量的定义与基本性质；掌握Jordan标准型及其性质，了解通过矩阵的相似变换可以获得Jordan标准型，了解Jordan标准型的若干应用，会求矩阵的Jordan标准型。

2． 矩阵分解（10学时）

掌握并会运用三角分解：LR分解、QR分解，通过分解矩阵进行矩阵运算、了解矩阵的基本性质；掌握满秩方阵的分解与任意矩阵的分解；了解矩阵的谱分解（包括Schur引理和正规矩阵的谱分解），Jordan分解,奇异值分解*。

3．矩阵分析初步（14学时）

矩阵函数：理解并掌握向量与矩阵范数、谱半径；了解矩阵多项式、矩阵序列与矩阵幂级数、指数函数等概念；掌握矩阵序列与矩阵幂级数收敛的基本定理，矩阵函数的定义及标准形；

函数矩阵：理解函数矩阵的导数与积分的定义与基本性质、掌握 的性质及其应用，了解矩阵分析在解常微分方程中的应用，（*）知道线性矩阵代数方程及其解。

4．* 特征向量与特征值的估计（6～10学时）

掌握估计特征值的基本方法：对称矩阵Rayleigh商，Gerschgorin圆盘定理。了解非负矩阵、不可约非负矩阵等的特征向量与特征值的估计。

5．* 矩阵的广义逆（8～12学时）

了解矩阵的单边逆、广义逆 、自反广义逆   、其它的弱逆、Moore-Penrose逆 的定义及其基本性质，会应用广义逆解线性方程组。

四、对学生能力培养的要求

本课程是一门比较抽象的课程，通过本课程的学习应培养工程硕士研究生具有严密的抽象思维能力,另一方面通过掌握本课程介绍的基本内容、基本方法，将它们应用于本领域的研究之中。

工程硕士研究生《数值分析》课程教学基本要求

一、概  况

开课形式：课堂讲授和上机实习

课程主要内容：线性方程组的数值方法，非线性方程（组）的数值解法，数值逼近，数值积分与微分，求解矩阵特征值和特值向量的数值方法，常微分方程初值问题的数值方法。

参考学时：54学时或36学时，36学时的可略去打*号的内容。

适应专业学科： 工程及经济管理等专业

先修课程：高等数学，线性代数

教材与参考教材：

二、课程性质和目的

数值模拟和计算被认为是与理论推演和科学实验并列的第三种主要研究方法。本课程主要介绍如何用计算机求解或数值模拟各类数学问题。数值计算涉及的领域广泛，内容在不断发展，本课程仅介绍其中最常用的初步基础，目的在于使学生了解构造数值算法过程中主要的思想方法、工具和手段以及要分析解决的问题，比如这些算法的计算效率，收敛性，数值稳定性，误差分析，适用范围等。

三、课程内容和要求

1． 线性方程组的数值方法（以下提到的矩阵均为方阵）

（1）理解向量范数和矩阵范数的定义，这两种范数的相容性概念，谱半径。

（2）了解矩阵三角分解的主要条件。掌握矩阵初等变换的形式和用途。

（3）理解Gauss消去法的过程，掌握矩阵直接三角分解的步骤和算法过程。理解选主元素的思想和作用。

（4）了解直接法求解线性方程组的误差分析，病态方程组的定义，矩阵条件数的定义及主要用途。

（5）*理解迭代法求解线性方程组的基本框架，即不动点型迭代公式的形成过程。了解压缩映射原理和不动点迭代公式的收敛性分析。

（6）理解Jacobi迭代法，Gauss-Seidal迭代法和SOR迭代法的构造思想，掌握以上方法的矩阵形式和分量形式。了解有关这些方法的收敛性结论。

（7）*了解共轭梯度法的算法步骤和思想。

2． 非线性方程（组）的数值解法

（1）    理解不动点迭代法求解非线性方程的思想和一般公式。了解压缩映射原理和迭代法收敛性分析（这部分可与对线性方程组的讨论合并进行）。了解收敛阶的概念和简单的判定方法。了解加速方法的技巧。

（2）掌握牛顿法、割线法求解非线性方程的公式和步骤，理解它们用于求解方程组的公式。

（3）*了解拟牛顿法的基本思想，理解简单的拟牛顿法的公式和步骤。

3．插值法和数值逼近

（1）理解多项式插值问题的基本概念，插值解的存在唯一性和误差公式。

（2）理解求解Lagrange插值问题的常用方法，即Lagrange基函数法、差商定义和牛顿法。

（3）掌握分片多项式插值，了解样条插值。

（4）了解数值逼近问题的背景和用途，理解插值和线性最小二乘逼近问题的基本形式。

（5）理解有限维线性空间中最佳平方逼近问题与求解法方程的等价性，掌握其离散化即最小二乘问题的求解。

（6）*了解非线性最小二乘问题的背景、用途和有关的简单方法。

（7）*理解正交多项式基本概念与性质，了解正交多项式在数值逼近和插值问题中的作用。

4．数值积分与微分

（1）理解有关数值积分问题的基本概念，即数值公式的形式、误差、代数精度。

（2）掌握插值型求积公式的构造及其基本性质。

（3）掌握简单复化求积公式的计算。了解Richardson外推的原理和过程。

（4）*理解正交多项式和Gauss型求积公式的关系，Gauss型公式的基本性质。

（5）*了解求积公式数值稳定性概念和常用公式的数值稳定性。

（6）会用Taylor展开构造给定误差阶的数值微分公式。

5．求解矩阵特征值和特值向量的数值方法

（1）掌握幂法、反幂法、移位技术的步骤和收敛原理。

（2）掌握Householder和Given’s变换，理解用上述正交变换作矩阵QR分解和相似变换矩阵为上Hessenberge阵的步骤。

（3）理解QR算法和带移位QR算法的基本过程，*了解有关QR算法收敛性的结论。

（4）*了解用于对称矩阵的Jacobi方法。

6．常微分方程初值问题的数值方法

（1）理解有关常微分方程初值问题数值方法的基本概念，即离散化，局部和整体误差，显式和隐式，单步和多步法的概念。

（2）掌握Runge-Kutta法的一般形式和构造，了解其误差分析和数值稳定性分析的初步理论。

（3）*掌握线性多步法的一般形式和构造，会用预测-校正和待定系数的思想构造给定误差阶的（简单）线性多步法公式。

7．对于上机实习的要求

掌握MATLAB或其它一门高级语言。会在以上语言环境下实现本课程中学过的数值算法（包括调用已有的库函数和子程序包），用此求解有一定规模的数值问题。并能用学过的理论对计算结果作分析。

四、对学生能力培养的要求

具有运用数值方法求解模型问题的科学工程计算能力是现代工程师的基本技能之一。本课程特别注重数值分析和数值计算实践的结合，提高运用计算机数值求解的能力，使学生进一步在本学科领域能运用数值方法解决工程和科研中的实际问题。 

工程硕士研究生《运筹学》课程教学基本要求

一．      概  况

开课形式：课堂讲授为主。

课程主要内容：运筹学概述，线性规划，整数线性规划，非线性规划，动态规划，多目标规划。

参考学时：54学时或36学时，36学时的可略去打*号的内容。

适应专业学科： 工程各有关专业

先修课程：高等数学，线性代数

教材与参考教材：

二、课程性质和目的

运筹学是一门综合性的软科学，它运用系统建模与问题求解的思想和技术，为决策者提供最佳的解决问题的策略和方法。掌握运筹学的统筹的思想和方法，学会分析和求解各种有关的最优化问题，是众多工程领域的设计者和管理人员最基本的素养之一。对于工程硕士研究生，学习本课程的目的在于掌握如何设计最优的工程系统或结构，如何寻求系统或结构的最优参数，如何挖掘系统或结构的潜能以达到最佳效果。所以，本课程以学习规划论为主。

    通过本课程的学习，使学生了解运筹学的概况和主要研究内容，理解线性规划，整数线性规划，非线性规划，动态规划，多目标规划等规划问题的数学结构的特点，学会对各种实际问题建立合适的数学模型，掌握这几类规划问题的主要求解方法，了解图与网络优化，排队论，决策论，对策论等问题的特点和求解思路。通过这些知识块的学习和各教学环节的实施，培养学生的抽象思维（现象的抽象、概念的抽象、规律的抽象和模型的抽象等），逻辑推理，建模和科学计算的能力，提高学生运用数学知识解决工程实际问题的能力。

三、课程内容和要求

1． 绪论

   了解运筹学的发展概况，性质和特点，研究的主要内容，发展趋势，以及本课程的学习方法等。

2． 线性规划 

（1）懂得线性规划问题的形成，能把小规模问题表示为数学模型，掌握其标准形式和解的概念。

（2）学会两个变量的线性规划问题的图解法。

（3）理解线性规划问题的基本理论（凸集凸组合，线性规划基本定理）。

（4）理解单纯形法的基本思路，掌握初始基本可行解的选择，掌握最优性检验与基变换的原理和方法，能对最优解和无界解作出判定。

（5）    掌握少变量情况下的单纯形表的运用。

（6）掌握人工变量及其处理方法（大M法和两阶段法中至少掌握一种）。

（7）* 了解改进单纯形法，了解求解线性规划问题的多项式时间算法的发展现状。

（8）*了解线性规划问题的对偶问题的形式和性质。

3.* 整数线性规划

(1)懂得整数线性规划问题的特点和求解的困难性。

(2)理解割平面法的基本思想。

(3)掌握Gomory割平面法的计算步骤，会解小规模的整数线性规划问题。

(4)掌握分枝定界法的基本思想和计算步骤。

(5)掌握指派问题及其匈牙利解法，会解小规模的指派问题。

4. 非线性规划

(1)懂得非线性规划问题的形成及其数学模型，懂得无约束问题和约束问题的区别，理解局部最优解和全局最优解的概念。

(2)掌握凸函数的概念和性质。

(3)理解解非线性规划问题的基本思路及其实现方式。

(4)掌握一维搜索的常用方法（0.618法，牛顿法和精确搜索法）。

(5)理解无约束问题的最优性条件（必要条件，充分条件）。

(6)理解最速下降法，牛顿法（含变形）和共轭梯度法的数学原理，熟练掌握其计算步骤，能够用这些方法计算小规模问题。

(7)* 理解约束问题的最优性条件，用K-T条件处理简单的问题。

(8)掌握增广函数方法（外点法，内点法和Lagrange乘子法）的计算步骤，能够解小规模问题。

(9)* 了解可行方向法（其中1-2个）的原理和计算步骤。

5.* 动态规划

(1)懂得多阶段决策问题的形成及其特点；从实际例子中领会最优性原理。

(2)了解最优性定理和动态规划基本方程。

(3)掌握确定性定期多阶段决策问题的求解方法。

(4)掌握确定性不定期多阶段决策问题的求解方法。

(5)能够用动态规划方法解小规模问题。

6. 多目标规划

(1)懂得多目标规划问题的形成及其特点。

(2)理解多目标规划问题的解集和像集，及其问题的有效解。

(3)掌握处理多目标规划问题的常用方法（约束法，分层序列法，评价函数法等中至少掌握一种），能够解小规模的问题。

7.* 运筹学的其它分支简介

了解图与网络上的优化问题，了解排队论问题、对策论问题和决策论问题。

四、对学生能力培养的要求

本课程注重培养从实际问题抽象出数学问题的数学建模能力，理解各种规划问题解法的数学原理和思想，通过实际问题的求解来提高科学计算的能力，并掌握诸如LINGO或MATLAB等数学软件，可联系专业中的实际问题，完成几次大作业。