主题：转贴几篇数学家的访谈记录

 
这里是台湾地区《数学传播》的“有朋自远方来”的采访记录。是直接从 pdf 文件拷贝过来的，因此可能有些地方的格式有点不对。繁体字，我手上没有软件转换成简体字，很抱歉。希望这一次不要有人来教训我要“爱国”了，毕竟台湾也是我国的一个地区。

我们其实也有一个类似的期刊，叫《数学译林》，是中科院下面的一个所办的，介绍一些数学前沿和一些数学家的故事，很适合数学学科的本科生和研究生有时间的时候随手翻翻的。可惜没有免费版本。几年前我曾经请刘老师定过两年，不知道我们学院是否还在定这本期刊。

 數學傳播 32 卷 3 期, pp. 3-11

有朋自遠方來一一專訪
                        Caffarelli 教授

                                     策 劃 : 劉太平
                                     訪 問 : 劉太平、 林長壽、 郭忠勝、 林琦焜
                                     時 間 : 民國 97 年 5 月 2 日
                                     地 點 : 台灣大學數學系
                                     整 理 : 焦源鳴、 林思華
        Luis A. Caffarelli 教授 1948 年出生阿根廷 Buenos Aires, 於 1968、1972
    年於 Buenos Aires 大學得碩士、 博士; 1973-1983 年在 Minnesota 大學任博
    士後至教授, 歷任知名研究所: Courant Institute, New York University (1980-
    1982, 1994-1997); University of Chicago (1983-1986); Institute of Advanced
    Study; Princeton (1986-1996); 現任 University of Texas at Austin 講座教授。
    是美國科學院院士, 及多國海外院士, 得過多項國際大獎。 Caffarelli 教授在偏微分
    方程 (PDE) 領域功力深厚, 在自由邊界等核心領域有開創性, 重要的結果, 是公認
    橢圓型 PDE 的泰斗。 Caffarelli 教授為人謙和, 沉醉於數學研究。



劉太平 (以下簡稱 「劉」): 我們的訪談通常都先問一個標準的問題: 你小時候在阿根廷, 如何開
   始喜歡數學的?
Caffarelli ((以下簡稱 「C」)): 其實, 我一直都很喜歡各種科學。 高中時, 有位很能啟發學生興
   趣的老師, 班上 30 位學生中, 有 8 位畢業後就讀跟數學相關的科系, 後來只有 2～3 位留
   在數學界發展。 當時我尚未決定求學的方向, 我同時對工程、 物理、 數學感興趣。 所以, 在高
   中最後一年, 我旁聽了一些工程跟數學的課程, 比較之下我還是喜歡數學。 工程就不再去想
   了, 只需選擇數學或物理, 這兩門科目我都喜歡。 但 1966 年, 在我要進大學前, 軍政府接管
  了學校, 並且強行干涉學校的內政。 許多物理學家跟數學家都出走了; 物理學界花了好一陣
   子才恢復元氣。 當時我同時進修數學跟物理約有 2 年, 但最後選擇了數學。
劉: 傳統上阿根廷的物理學很強, 對吧?
C: 沒錯。 阿根廷的物理學很強。
劉: 那數學呢?
C: 哦, 數學也是, 不過現在阿根廷培養出來的物理學家跟數學家已散佈到全球。 我唸書時, 學
   校有些優秀的教授, 如 Luis Santalo, 一位西班牙數學家, 西班牙內戰時在共和軍, 最後必
   得離開西班牙時, 他來到阿根廷。 在芝加哥的 Calderon, 他有許多優秀的學生回到阿根廷,
   他們有很扎實的訓練, 我因此也受到很好的訓練。
劉: 20 世紀初期, 有那些出色的阿根廷數學家?
C: 沒有。 阿根廷和一般的拉丁美洲的數學界, 由於二次世界大戰跟西班牙內戰而蓬勃成長, 因
   為當時有許多科學家因戰爭逃往拉丁美洲, 如 Andre Weil 去了巴西, Beppo Levi 則去了
   阿根廷。 政府自 40 年代開始便大力支持科學研究, 一直到 50、 60 年代都是如此。
劉: 華人社會一向看重學識的追求, 阿根廷也是一樣嗎?
C: 是啊, 不過現在的人心裡有些掙扎了: 學識和財富, 孰重? (眾人笑)
林長壽 (以下簡稱 「林」): 你可否講一些你的大學生活? 你從教授那邊得到那些數學方面的啟
   發?
C: 我們沒有所謂的大學部。 在阿根廷, 一旦進入高等教育系統就讀, 你便是 「Licenciatura」,
   類似碩士生, 這個體制是阿根廷的一個嚴重問題, 沒有過渡階段。 如果學生能完成學業, 便
   能領到文憑; 如果學習中遇到挫折, 無法堅持下去, 只能兩手空空離校。 我覺得這會是個問
   題, 但不幸的, 我們的制度就是這樣。 對於我來說, 大學獨特的氛圍, 空闊的校園, 我們一整
   天都待在學校, 有許多開放空間供學生使用。 我們生活在那兒, 分享彼此的問題跟想法。 我
   想我們不僅僅只是一個團體, 我們每個人都是一個共同體的一部分。
林: 在那段期間, 教授跟學生之間的關係特別親近?
C: 主要是學生之間的互動, 教授們很好, 會回答你的問題。 但主要是助教跟學生, 尤其是學生之
   間, 彼此切磋。 學校離家不近, 我們大部份的學生, 需要搭一個小時的公車才能到校。 所以到
   校後, 就會在學校待上一整天而且把功課做好, 氣氛好極了。 我想, 世界上不管在那裡都一
   樣, 要緊的是你周遭的氣氛, 例如一所好的高中, 有好的師資, 但 主要的還是那些學生讓整
   個氣氛和樂, 因為他們彼此有良性競爭。
林: 你後來曾回母校去嗎?
C: 有的。 我每年都會回阿根廷, 有時 1 年 2 次。
林: 情況還是一樣嗎?
C: 是有些改變。 60 年代阿根廷就如同當時世界許多地方, 是讓人振奮的時代。
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林琦焜 (以下簡稱 「琦」): 政治方面嗎?
C: 嗯, 啊, 沒有束縛的 60 年代。 年輕人感覺未來有無限可能, 沒有限制, 美國跟法國都是這樣。
琦: 你是說受學生運動的影響? 這好像是從法國開始的。
C: 可能是因為經過戰後休養生息。 那個時候在阿根廷任何人都可以找到自己的一片天。 你可以
   唸書或找到一份好工作, 安身立命, 所以年輕人充滿信心。
劉: 我知道 60 年代同樣是墨西哥的好時光, 對吧?
C: 沒錯。
劉: 那是個充滿希望樂觀的年代。
C: 樂觀讓人對未來有信心, 就像對科學有信心。
劉: 接著你去了美國。
C: 我去了美國, 是的。 我拿到阿根廷一年的獎學金到美國去, 從此就待在美國了 (眾人笑) 。
劉: 你在美國待了那麼長的時間, 可不可以跟我們談談你學習過程中某些曲折的經過?
C: 所有待過的地方, 我都很樂在其中。 去明尼蘇達之前, 剛在阿根廷完成特殊多項式理論的論
   文, 對於 PDE (partial differential equations, 偏微分方程) 的理論一點概念都沒有, 在明
   尼蘇達時才發現 PDE, 因此我學到很多。 每個階段各有不同, 我很喜歡我在芝加哥時做的東
   西, 那期間我主要是得到想法。 在 Courant 期間則有許多活動, 和 Nirenberg, Varadhan
   等互動, 每個地方都有它的價值, 有它獨特的價值。
琦: 你什麼時候遇到 Nirenberg?
C: 我跟他有過幾次簡短的碰面, 然後忽然有一天他打電話給我, 當時我正訪問義大利, “你願意
   加入 Courant 嗎?”, 我第一次到 Courant 時, 才真正跟他有比較深入的接觸, 開始合作,
   那是 1980 到 82 年間。
琦: 那時你們完成了 Partial regularity 的文章?
C: 就是那時候。 我跟 Nirenberg 和 Joel Spruck 在那段時間寫了好些論文, 利用 continuity
   method 探討完全非線性方程, 如 Monge-Amp`re 方程。      e
劉: 既然你提到 Nirenberg, 可否談一下你曾經相處過的人? 特別是 De Giorgi? 他是怎麼樣
   的人?
C: De Giorgi? 他了不起。 我記得他是義大利國際特赦組織的主席。 除了是位偉大的數學家,
   De Giorgi 也十分關心人權, 他與眾不同, 令人喜歡, 非常專注, 義大利的數學家都敬愛他。
劉: 你能否說一說 De Giorgi 是“怎樣的”偉大的數學家, 他的工作態度, 他的. . . . . .?
C: 我跟 De Giorgi 私交不深, 我並不常去比薩, 每次見他一個星期, 大約 3～4 次。 數學方面
   我記得曾告訴過你, 他在 26?27 歲時, 解決了 Hilbert problem。 當他 30 出頭時, 建立了
   generalized theory of minimal surfaces, 然後在 1957?1958 年間做了 homogeniza-
   tion。 其實有件事, 我一直感到不平, 當你讀到“A beautiful mind” (中譯: 美麗境界), 大
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   家因為有 De Giorgi 的工作以至於 Fields 獎沒頒給納許而感到遺憾, 但在孤立環境中先
   做出這個工作的 De Giorgi, 卻沒人為他沒得到 Fields 獎抱撼 (眾人輕笑) 。
劉: 我想他們兩人都不需要多這個榮譽。
C: 是的, 是的, 畢竟不需要。 De Giorgi 非常可親, 非常和善。 如果有人跟他提起這件事, 他總
   是說: “不用操心這個了。”
郭忠勝 (以下簡稱 「郭」): 你最喜歡那個領域?
C: 嗯, 每個領域都美。 當發覺掌握到問題的關鍵時, 我特別高興。 這是研究數學美妙的地方。 每
   個階段的感覺不一樣, 舉例來說, 當我在撰寫第一篇論文時, 感覺我的技巧愈好, 我就知道、
   發現得愈多。 現在, 隨著年紀與見識的增加, 看問題格局更大也更深入。 數學家常有個理論,
   22 歲前是數學家的黃金時刻, 所有的結果都該在 22 歲前完成, 但我並不這樣認為, 22 歲
   做出好的成果是很讓人意外的, 因此眾人矚目。 每個階段都是好的, 每個階段對數學有不同
   的體會。
林: 確實。 我很喜歡 Caffarelli 教授的想法。 我想, 他是用自然的方式在研究數學的, 掌握問題
   的核心, 觀點自然。 舉例來說, 我回到台灣, 在大學任教 3 年後, 決定搬到台灣一個偏僻的地
   方—當時幾乎是隱居—專心研究數學。 我選擇的第一個問題便是探討奇異性 (singularity
   problem)。
C: 我知道, 我還記得。
林: 我的研究受到 Caffarelli 教授的論文許多啟發。 那篇論文是關於如何將解分類, 利用 Kelvin
   transform 將無窮遠點轉換到有限點, 然後只需考慮一個有奇異點的方程。 想法很簡單, 也
   很自然, 我想是做偏微分的人第一次處理奇異點的問題。 對我而言, 我深深為你及 Louis
   Nirenberg 等合作的 Monge-Amp`re 方程的文章所吸引。 我想這是你的 fully nonlinear
                           e
   方程工作的起點。 你從何時開始跟他合作的? 你們之間激蕩出何種火花?
C: 我們很緊密的合作。 跟 Nirenberg 合作很難預料最後結果會如何浮現, 我們由討論開始, 想
   法就在一來一回之間蹦出來。 我覺得 合作是一個很好的過程。 有些時候, 合作有點類似拼
   圖, 各人知道不同的部份, 雙方坐下來把自己知道的一部份拿出來, 放在一起; 有些合作則
   是由零開始, 必須要雙方一起找出想法, Louis (Nirenberg) 便擅於此道, 我們常湊在一起,
   談天、 討論。
林: 你在非線性、 橢圓 PDE 的工作非常幾何, 我想, 在 PDE 數學家中, 你的想法非常獨特。
C: 那或許是因為 PDE 我是自修的, 在明尼蘇達時, 我聽了 Hans Lewy 的課又向他請教幾個
   問題, 我當時並不懂 PDE, 他問了我 2～3 個問題, 都是沒有泛函分析為背景的, 而是有關
   調和函數迴繞曲線之類的。 並沒有論文談論到這些, 所以我便去翻找老的論文, 我必須自己
   發現些東西, 這給了我一些優勢。
劉: 如此說來, 從行外開始會有好處。
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C: 是的。 有許多次是這樣, 許多次都是這樣。
劉 (笑) : 今天, 當你在演講時, 你給我們一個強烈的印象—你好像身處在一個繁花似錦的園子,
   沉浸其中, 樂在其中, 對吧?
C: 沒錯, 我喜愛談論數學, 是的! 我們這一輩子都在跟人們傳達討論我們的想法, 我喜歡這樣。
劉: 你懂得 PDE; 我這話說得輕淡! 你是否可以談談偏微分方程的一些方法、 技巧或是想法,
   或是和偏微分方程有關的活動、 人物. . . . . .
C: 多年前, 我真的很想舉辦一個研討會, 邀請我最推崇的 3 位分析數學家: Calderon、 Car-
   leson 跟 De Giorgi 來談談他們的想法。 不過現在說這些都太遲了, 因為 Calderon 及 De
   Giorgi 已經過世了。 我喜歡借用 Gene Fabes 描述 E. M. Stein (我同樣佩服他的分析能
   力) 的說法: 「 I think he can hear the music」 來形容這三人, 我想這句話真實地描述了
   他們如何做數學。 他們改變了研究領域的視野。 當我還在阿根廷的時候, 我學 Carleson 傅
   氏級數逐點收斂的定理, 這是定理中的定理。
劉: Carleson 曾在 80 年代早期來到台灣, 我們談到 Komolgorov, 談到幾乎處處發散的 L∧ 1
   函數的例子。 他也說了一些事情, 就像長壽剛才談到你 (Luis), 主要的就是 Komolgorov
   的分析也是很幾何的。 那是來自於 Carleson 大師的說法 (笑) , 同樣的, Carleson 也不太
   願意談論他自己。 你現在跟許多人合作, 是吧?
C: 是的。
劉: 究竟有多少人跟你合作過? 我知道有相當多人, 像我們前面所提到的 Louis Nirenberg
   ......
C: 我有許多合作夥伴。 我跟 Louis, Avner Friedman, Joel Spruck, Yanyan Li 合作過許
   多次。
林: 你有華裔學生嗎?
C: 有, 2 位已經畢業了, 王立河跟 Peiyong Wang。 還有 Lan Tang, 正在攻讀博士學位, 總
   共是 3 位。
劉: 近年來, 學術環境已大不相同。 它在不停的變化, 跟 60 年代大不相同, 舉例來說, 特別是在
   亞洲, 很重視 SCI 的評鑑, 但在美國則還好, 對吧? 人們並不那麼重視 SCI。
C: 美國的科學界在某種程度上是可以的, 因為美國引進許多外國人才, 數學的博士生有一半以
   上是外國人, 對美國來說, 這是很多的。 在阿根廷, 如果訓練出 30 個人, 其中有 10 位出頭
   了, 那麼就會有 5 位前往美國發展。 一個美國小孩如果他選擇攻讀數學, 那麼他要怎樣才能
   在數學領域裡出頭呢? 他努力四年在很困難很需要技巧的領域獲得博士學位, 如果他真那
   麼好的話, 或許他會橫越美國到一個好的學術機構做博士後研究, 如果他工作得很努力, 那
   麼過個 2～3 年或許又要橫越美國在另一個機構成為助理教授, 再過個 3 或 4 年成為教授,
   可以說他的薪水比別人晚了 10 年. . . . . . (笑)
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劉: 但數學還是比生物要好, 讀生物的可能要做一輩子的博士後。 而且生物也更難拿到終身聘的
   職位。
C: 工商管理的碩士可能在 2～3 年後就可以有教授那麼高的薪水 (笑) , 而且拿到碩士學位的
   要求也比較低—不需要寫論文, 像 rational curves, Euler equations. . . . . .等等, 我能理
   解為什麼美國小孩就讀科學的意願這麼低。
劉: 是啊。
C: 我們在數學界有所成就而且也享受我們的研究生活, 但這畢竟只是少數。
郭: 現在台灣教育部正在進行評鑑台灣各大學的計畫, 數學界跟科學界的人也在討論, 該用什麼
   樣的標準來衡量各個系所? 比方說, SCI. . . . . ., 你的意見呢?
C: 我認為評鑑一個系所是非常複雜的, 不能僅用幾項指數 (index) 來決定。
郭: 當然。
C: 我們必須要衡量大學對社會有何益處? 系所的評鑑也要考量到這一點, 並不是光看有多少大
   師級的人物。
劉: 我們在教學上對社會的貢獻更大。
C: 嗯, 這是很複雜的事情, 有人在美國以學位的價值對系所進行評量, Texas A&M 排名第二
   (輕笑)。 當你瞭解評鑑詳情後, 你會發覺這是很合理的, Texas A&M 學費低廉, 訓練出很
   好的學生, 從事各行各業。 所以這是評鑑一所學校需要考量的另一個角度。
劉: Texas A&M 大部份的學生是當地人。
C: 對當地學生而言, 這大學不昂貴, 卻能真正提昇他們的教育水準。 他們認為比那些只有極優
   秀的學生才能進入的頂尖的私立學校還要有價值, 這些極優秀學生不論上那個大學, 反正都
   會成功。 相對於他們所付出的學費, 我認為科學教育是便宜且高效率的。 另一方面, 在印象
   中, 美國的 NSF (National Science Foundation) 到目前為止, 對於納稅人的錢都能作到
   有效的利用, 拿到 NSF 補助的科學家都很自豪, 不會去浪費它。
林: 你在我心中是少有的偉大分析學家。 我想談一下 Navier-Stokes 方程式, 這是當今最重要的
   PDE, Navier-Stokes 方程式的研究似乎仍以橢圓 PDE 方法為主, 你能就 Navier-Stokes
   方程式跟我們談一下嗎?
C: 好吧—— (眾笑) 讓我先這麼說, Navier-Stokes 方程式是一個很簡單的模型, 在某一個
   範圍內的參數, 可以描述些複雜的現象。 但我不知道瞭解 Navier-Stokes 方程的解是否有
   界, 是否平滑等等, 有何實質的價值。 數學上來說, 這是很有挑戰性的。 但它在科學上真正的
   價值並不那麼大。 畢竟石油在高速運轉下會完全燃燒, 顯然地, Navier-Stokes 模型並不適
   用。 數學界有時會談論這類, 比 Navier-Stokes 一般的問題。 我個人認為數學界太強調那
   些百年來一直沒有解決的老問題, 是個很壞的習慣。 我認為數學是遠比這樣有活力的。 在機
   率、 物理、 材料科學、 生物等等都很美妙, 更為有趣。 這遠比將錢用在懸賞那些老問題的解
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   答上要好多了。 何不讓我們試著把美金 20 萬用在鼓勵年輕人解答讓人感奮的問題上? 我
   還記得, 當 Fermat 問題被解決後, 新聞報導給人的印象是數學家們一代接一代地致力於
   解決 an + bn = cn 。(眾笑) 當然囉, 如果有人能解決 Navier-Stokes 方程式, 我們都會欣
   賞其美妙的分析。
劉: 那麼接著你的話, 我想問, 此刻你認為什麼是值得去做的事? 什麼是數學家可以做的, 有那
   些具體方向?
C: 像 wrought equation 及 different media (不同的界值) 和 interaction between scales
   (不同尺度之間的相互作用) 這些都是我想瞭解的。 科學已經變得非常數學化, 我記得 20 年
   前, 當電腦真正開始展現它的強大的功能時, 許多科學家跟工程師都不約而同宣稱: 數學已
   到了終點。 (笑), 那裡還需要數學呢? 對吧, 只要將數字一串串丟到電腦裡, 電腦會不停地幫
   我們計算出結果。 但是後來人們發現, 若你的模型不夠好, 或者你對方程本身不夠瞭解, 那
   麼你所能做的就很有限。 他們才察覺到數學並不只是消化數字這麼簡單。 你看, 現在是數學
   的黃金年代, 有許多數學問題等著我們去解決。 可是數學系對新的潮流反應不過來。 現在的
   人們會希望找到量化的方式來描述如人口動力學、 細胞生長諸如此類的問題, 在科學的各個
   層面, 有許多待解決的數學問題。 所以我認為 做數學是好的, 我們再從頭出發, 對年輕人來
   說, 這很好。 他們可以不必去學過去 40 年累積的一切才能下手做問題。
劉: 嗯。
C: 唯一的麻煩是在這樣新的領域從事研究, 有時很難得到他人的讚賞。
劉: 讓我們希望數學昌盛, 而數學系也能興盛。
C: 我衷心希望。
劉: 但這不會自動就發生, 需要花心思的。
林: 我認為目前科學界並不那麼看重數學。
C: 沒錯。
林: 我們研究數學常常要證明一些東西。 你覺得這種數學研究方式有可能因科技的發展而改變
   嗎?
C: 哦, 我想這事我們並不知道的! 就現在, 我們該怎樣訓練學生? 我們不是沒有好的研究機會
   在那裏, 但困難在於, 如果我們訓練學生處理跨領域的問題, 要他去那裏學新的數學, 但是
   我不太願意這樣做, 因為如果他學我這行, 教他我所知道的, 教他如何思考, 他畢業後將很
   容易有份好工作。 但是如果我把他放到未知的領域, 這不太公平, 因為即使他做出了一番成
   績, 但他的研究生涯的開始會非常困難, 因為沒有可以支撐他的學術團體。 這是個問題: 我
   們如何去搭學術團體間的橋?
劉: 我們現在大都認為好的數學家等同於好的分析及大的定理。
C: 沒錯。
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劉: 但這並不應該是唯一的標準。
C: 對! 對! 你可以說我們把這叫數學, 而認為其他的是“新的” , 但是 我們應該試著培育這類“新的”研究生,
   這是數學界的問題而我們需要努力去做。
劉: 我們需要寬闊的心胸來思考及探討這個問題。 不過你樹立了一個好典範, 你以一個門外漢進
   入 PDE 的領域, 然後似乎一直維持這樣的心態。
C (笑) : 但是現在我站在一個自在無憂的位置。
劉: 是的。
C: 當你年輕時, 你是被用一定的標準來衡量, 要冒許多風險。
劉: 你先前那樣子提到 Navier?Stokes 方程式, 你又說我們需要從頭做起, 走出新方向, 你能
   這麼說真好。
C: 對於我而言這樣說是很安全的, 那是因為你我現在都處於可以去發現新事物的地位, 但 我們
   的責任有點類似 60 年代那個時候, 要給年輕人多點自由。
劉: 對, 對。
C: 向科學挑戰的自由。
劉: 嗯。
琦: 你能談一下你開始研究新領域的經驗嗎?
C: 哦, 我不是重新開始一個新領域, 只是不斷地變換。 不斷地從先前的領域慢慢地推進, 在我
   們這個年紀, 我們的工作檔案夾裡總有 2～3 件工作在進行, 有的用上好的方法, 就繼續做
   下去, 同時我們也冒點險嘗試做點不同的工作。
劉: 但你遊動的, 不在原地停留。
C: 是啊, 我一直在演化。
劉: 但琦焜剛剛好像想問你是如何改變的? (笑)
C(笑): 這就是合作的好處。 有些人做不一樣的東西, 但跟你的工作又有共同的地方, 你跟這些
   人合作, 便能自然地進入他們的領域。
郭: 我十分同意。
C: 沒錯。
郭: 共同合作的確是件很好的事。
C: 藉著與人們交談, 可以一道想些其他有關的事。
琦: 進入一個領域你是以解決問題開始, 還是從學習開始?
C: 我認為是兩者互參。 你不用去開始一個新的領域, 你跟人們討論, 在談論中發現問題, 並在
   解決問題的過程中學習。
劉: 說真的, 你給的這一系列的演講是很吃重的。 我不能替別人說, 但我在台大聽了四堂演講,
   第五堂在中研院, 它們不是一般五堂演講而是一個數學裡很核心的主題的短期密集課程。 你
   前面提到數學教育, 現在的數學研究正朝著一個新方向前進。 這些我感受到, 希望學生們也
   能感受到。 你思想自由, 你那麼無拘束的想著, 我無法形容。 是啊, 你走到黑板前, 拿著粉筆
   畫那些曲線, 非常獨特, 吸引著大家的興趣。
C: 他們還繼續來聽! (笑)
劉 (笑): 通常聽眾會越來越少。
C: 數目衰減。
劉: 以指數衰減。
C: 是, 是。 這很好, 他們是非常好的聽眾。
劉: 你一定要很快再來台灣。
C: 是啊, 我會常來的。
劉: 下次你來台灣時, 我們不會要你做那麼多苦工。
C(笑): 但是我樂在其中, 真的樂在其中, 有人願意聽是好事, 我們有點像演戲的人, 是吧? 。
劉: (笑)
C: 我們花了許多時間獨自苦思答案, 而現在能有機會向其他人解釋。
劉: 哦, 現在學生也陸續回來了, 待會我要去問問他們有沒有從剛才的演講中學到什麼?
C: 只告訴我好消息。(眾人笑。)
劉: 或許我們今日的訪談便到此結束, 這是第一回訪問。
C: 沒問題。
琦: 第二回訪問待續中。
林: 我想 Caffarelli 應該很累了, 畢竟他剛結束一場演講, 又被我們拉來回答這麼多問題。
劉: 我想感到疲憊的反倒是我們, 而不是永不知疲倦的 Caffarelli。(笑) 謝謝你接受我們的訪問。
C: 謝謝。
—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學所, 林長壽為中央研究院院士, 郭忠勝任教台灣師範
大學數學系, 林琦焜任教交通大學應用數學系, 整理者焦源鳴、 林思華為中央研究院數學所助
理—

數學傳播 32 卷 4 期, pp. 3-15

有朋自遠方來一一專訪項武義教授
                             策 劃 : 劉太平
                             訪 問 : 劉太平、 張海潮
                             時 間 : 民國 97 年 11 月 28 日
                             地 點 : 台灣大學數學系
                             整 理 : 林思華
       項武義先生, 1959 畢業於台大數學系, 1964 獲美國普林斯頓大學數學博士學位之
    後, 先後任職於布朗大學、 普林斯頓高等研究所, 芝加哥大學, 並於 1970 年升任柏克
    萊大學數學系教授。 1998～2003 訪問香港科技大學, 期間完成基礎數學教材, 分由大
    陸人民教育出版社及台灣五南出版社出版, 是資優教育及中學老師進修的最佳教材。
    先生早年致力於變換群、 李群及大域微分幾何的研究。 自 1990 年後, 返璞歸真, 研究
    古典幾何, 其中最重要的貢獻乃在對 Kepler 裝球問題提出最小作用原理, 認為處理
    大域的極值問題, 應該先行了解局部的極值現象, 以局部的作用量測量極值, 以近及
    遠, 進而探究整個空間的極值問題。 此部分的研究成果請見 World Scientific 出版
    之 LEAST ACTION PRINCIPLE OF CRYSTAL FORMATION OF DENSE
    PACKING TYPE AND KEPLER’S CONJECTURE by Wu-Yi Hsiang。


項武義 (以下簡稱 「項」): 我是本地人, 怎麼是有朋自遠方來呢? 這個題目是雲遊和尚回歸本
   寺, 不是有朋自遠方來。
劉太平 (以下簡稱 「劉」): 雲遊和尚回歸本寺, 你得要寺廟承認這是你的本寺。
項: 不承認嗎? 不承認嗎? (笑) 不承認還行嗎? 沒辦法不承認。
張海潮 (以下簡稱 「張」): 這是 first place。 這是個 fact。
項: Yeah, 這是個 fact。
劉: 回到台灣來, 這是沒有錯。 但數學系的話 · · ·
項: 數學系的話, 我是這邊畢業的。 尤其我現在坐在這裡, 這絕對稱得上回歸本寺。
劉: 有道理、 有道理。
                                3
4 數學傳播 32 卷 4 期 民 97 年 12 月
項: 應該是雲遊和尚回歸本寺的訪問, 而不是有朋自遠方來。 有朋自遠方來, 對我來講, 變成有
   點見外。
劉: 不過我們還是會把你放在 「有朋自遠方來」, 因為這是個專欄。
項: 但這次的專欄還是得稍微改改, 因為這次受訪的傢伙是雲遊和尚回歸本寺。
張: 可以在 「有朋自遠方來」 做個副題—雲遊和尚回歸本寺。
項: 好, 做個副題。
劉: 反正, 要怎麼說是你的權利, 但最後要怎麼做是我們要對你權利的一個尊重, 對不對?
項: 對。
劉: 但我們怎麼做, 也是我們的權利。(笑)
項: 所以中間要有個磨合。
劉: 你算是老台大了, 不是嗎? 你 70年代時比較常回來台灣, 那時候我都在國外, 所以剛好都錯
   過了, 我聽你的演講並不多, 我記得有一次你回來, 講到 Minimal surface, Simon’s work,
   on Bernstein problem, 那之後你常回來。 事實上是 70 年代比較多, 是吧?
項: 是。
劉: 所以你跟台大接觸非常多, 我想你應該有一些強烈的印象。 你對台大數學系怎麼看? 除了深
   厚的感情, 你怎麼看? 任何正面、 負面的?
項: 這事情一下子很難說得出一個特別的感受。 因為一回來就等於回到自己的系裡面、 自己家,
   所有人都很熟 · · ·
劉: 不過, 你在美國待過那麼多地方, 也去過北京, 並在那裡著力很多, 所以, 你在這些地方可以
   做個對照?
項: 譬如說怎麼樣的對照?
劉: 比方說, 台大的學生。
項: 你要知道, 我剛回來的那陣子, 接觸比較多。 我中間有一段時間, 不知那一年, 我待了一整
   個學期。
劉: 那是那一年?
項: 大概是張海潮大四的時候。
劉: 那是那一年?
張: 是 1970 年的 9 月開了一學期的課。
項: 開了一學期, 教 數學概論 。
張: 擺在禮拜六, 9～12 點。 當時想說方便其他外校學生來聽課。
項: 那時候蠻用心講, 而且跟學生也比較有接觸。 那時候的學生我覺得相當用功, 後來我比較少
   回來是有一些政治的原因。 因為他們看到我在搖著旗歡迎大陸來的乒乓球隊, 被一個職業學
   生照的相。 記得當年回來有兩件事。 一件事是在台大講課, 另一個是碰到當時正把 SMSG,
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   美國的那一套東西搬到台灣來, 他們說這是美國一套偉大的教育革命, 台灣現在正在現代
   化, 一定要趕上。 這在教育上相當於把外國的 SARS 移殖到中國來, 所以我當時公開演講
   反對這件事情。 當時我講什麼話, 他們都說: 『是、 是、 是。 你講的都有道理。』 反正暑期講習
   會過了就回美國, 讓你說說就好。 我第二年回來半年, 回來得長一點。
劉: 我打斷一下, 施先生 [註: 施拱星] 針對這件事講過一句話: 數學沒有新舊之分, 只有好壞之
   別。
項: 所以, 我那時回來, 他們也許覺得是: 善者不來, 來者不善。 就想了一個辦法, 請我去教育部
   參加那個課程標準的委員會, 我記不清什麼名字了。 因為假如我去參加, 我就一個人去參加,
   而他們一大幫人, 不管我講什麼話最後都沒有效果。 但是我就不能再批評了, 因為你項武義
   也是委員之一。 於是教育部來請我, 可是一請我, 我這個人雖然是一個呆頭呆腦的傢伙, 但
   是我那時就警覺到這件事情, 所以在請我時, 我就講了, 其實我們在台大數學系, 那時候蘇
   競存也在, 然後還有賴 [註: 賴東昇] 先生、 繆龍驥、 施先生、 趙民德, 也對這個事情關心。 所
   以那個課程委員會一下子就增聘了六個人。 我們就不是絕對的少數了。 去開會的時候, 一坐
   下來, 大概有十幾個人, 我們都去了。 還有一個客觀環境有所改變, 就是 SMSG 引進來以
   後, 弊病已經出來了, 中學老師開始怨聲載道, 教育部也不能完全不顧這件事情, 教育部也
   有要把它改一改的意願, 然後我們去了, 我們能夠提出要改革的方案, 他們完全提不出任何
   東西。
張: 我打個岔, 那個 SMSG 的引進是 1965 年的高一, 第一次使用這 SMSG。 它叫做一個新課
   程的改革, 它是分三年的階段。 第一年就是李國偉那一年, 他們那一年是用所謂的 PSSC,
   所謂的 新物理 , 我的這一屆, 剛好輪到不僅要用 新物理 , 也要用 新化學 , 叫做
   CHEM。 我的下一屆開始用 SMSG, 我是 1964 年進高中的, 1965 年開始用 SMSG, 到你
   那個時候, 1970 年, 已經用了六、 七屆了。
項: 說實話, SMSG 實在是一塌糊塗。 我舉一些還記得的例子, 它也講 群論 。 群論 那一
   章定義什麼叫群, 定義什麼叫群的同構, isomorphic。 然後呢, 證明了三個定理, G 跟 G 是
   isomorphic; 第二個: G1 跟 G2 是 isomorphic 則 G2 跟 G1 也是 isomorphic; 第三個
   是 G1 跟 G2 是 isomorphic, G2 跟 G3 是 isomorphic, 則 G1 跟 G3 是 isomorphic,
   完了, 整個就結束了, 群論 全教完了。 這是一個例子。 第二個我記得很清楚的例子, 它定
   義 n 階的行列式, 用一個很龐大的展開式來定義。
張: n! 項。
項: 每項前面有 sign(τ ), τ 是置換, 還有一大串足標。
張: 這裡我想講一件事情。 因為他們基本上是節譯, 他們是把美國的課本作節譯, 因為通常美國
   的教本是相當大的一本, 其實美國的教科書 · · ·
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項: 總之最後就寫出一個行列式的乘法公式, 公式下面是, 讀者試自展開, 驗證之。 你想想看, 這
   邊是 n! 項乘以 n! 項, 那邊是 n 的 n 次方乘以 n! 項, 中間相消得天翻地覆。 這怎麼可能
   用展開集項來證? 沒有一個數學家可以做那種事!
劉 (笑): Ramanujan 大概可以。 其他人大概就 · · ·
項: 我還記得另外一個關於級數的例子, 有一個定理是等比級數, 假如 γ 不小於 1的話, 它是發
                           1
   散, 所給的理由是它不趨於             , 所以它發散。 一個級數不趨於某一個特定數為極限, 那
                         1?γ
   它就發散, 這一類的例子多不勝舉。 其實, 在私下主事者也頗有悔意。
張: 但是已經七年了, 這已經是第七年了。
項: 總之那一年, 教育部就同意改, 我建議要改而且一定要實驗, 就成立一個實驗教材的編寫組,
   我們有八個人, 我是其中之一。
張: 那時黃武雄還沒回來。
項: 黃武雄是後來才參加的。
張: 不是第一次組成的那個, 他是第二年。
項: 71 年初離開這裡之後, 我去歐洲訪問, 先在 Geneva (日內瓦) 2個月, 在 Bonn 4個月, 編
   寫組在編了之後, 他們說這整個東西, 你想得最多, 所以要我全權負責寫高一的初稿, 所以
   我到了日內瓦就開始寫, 那個很辛苦! 為什麼? 因為我要從頭仔細想怎麼寫, 我這人從來沒
   有胃痛過, 那二個月我就胃痛。 從歐洲回到 Berkeley, 我碰到黃武雄, 那時候正好快畢業了
   要回來, 我就跟他談, 黃武雄很熱心, 後來就等於是黃武雄接過去了。 我不知道是怎麼回事,
   反正我已是沒法管了, 那時因為那張照片, 我在某種意義上好像變成通匪有據。 第一次高一
   的實驗教材出來, 因為他們覺得我花的力量最大, 編寫組沒有問過我同意, 封面上就只寫項
   武義主編, 不是編寫組主編。 正好當時那張照片也已經傳到台灣的情報機構, 蔣彥士部長就
   ···
張: 當時蔣彥士是教育部長。
項: 蔣彥士非常吃驚。 他就把我父親叫來教育部, 說: 『現在教育部面臨一個極為嚴重的危機, 這
   書已經印好要發行, 上面是項武義主編, 而你的兒子, 你看, 就兩手搖了一個美國旗、 五星旗
   在那裡歡迎大陸的乒乓球隊。』 所以要我父親同意把書全收回來, 把封面拿掉, 換一個封面。
   我父親的反應是什麼? 回家後寫信大罵我: 『你這個孽子!』 把我痛罵一遍。 父親罵我, 我沒
   辦法回嘴, 我就寫了封信給蔣彥士罵他。 我跟蔣彥士講: 『你要做的事情, 用項武義做主編,
   我完全不知情, 把一個不對的事情改成對的, 應該改成編寫組, 我完全贊成。 但是你沒有道
   理要去找我父親來同意這件事情, 這完全牛頭不對馬嘴。』 還有我說: 『我做了什麼事情, 我
   自己負責, 也不需要你負責, 你要做這事, 我贊成, 而且謝謝你, 但你做的方法不對嘛。』 因
   為這樣, 所以我沒辦法太介入寫書的事情, 後來我回想當時, 有兩件事是有點失敗的。 一個
   是當時原本設想在事前先做些實驗, 通過實驗慢慢來讓它變得比較穩妥。 但是當時在台灣的
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   做法是要不就不用, 要不就全部用。 我的想法是用一、 兩個學校, 不要多, 先經過實驗, 妥
   當了再推出去。 第二, 我想當年我的設計還是不夠醇, 就像酒, 還有辛辣之處。 希望通過實
   驗以後能夠好一點, 但這個過程沒有之後, 就有點辛辣之處。 我猜想, 黃武雄也是年少氣盛,
   老和尚當年還年輕, 黃武雄比我還更年輕, 所以辛辣之味只有有增無減, 但是我也無能為力
   了。 所以後來實驗教材並不成功, 原因就是裡面有些辛辣之處。 還有一件事, 我記得當年我
   做的辦法, 比如幾何, 中學的教材要從初中來改是比較自然的切入, 當時我完全認識到, 但
   是那時沒有時間來, 因為它就是在高中, 先把高中改過來, 而從高中開始就不是一個很自然
   的起點。 舉一個例, 我當時提出三個幾何基本定理: 一個是平行四邊形定理, 另外一個是勾
   股定理, 另外一個是相似三角形的定理, 討論這三個定理的證明後, 就用它們來引進向量運
   算, 達成空間結構的全面代數化。
劉: 就是向量代數。
項: 完全代數化, 是向量幾何, 但是因為沒有好好的準備跟培訓, 我的項先生就變成向量的向
   (劉笑)。 引進向量, 基於上述三個幾何定理, 強調向量的運算律, 特別是分配律就是上述幾
   何的基本定理的代數形式, 這些思想都有了, 但還是不夠理想, 就是說, 你從平面幾何的過
   渡階段, 那段工作應該在初中做好準備, 但沒有做到。 總之, 我那時就變成 「向」 先生。 這大
   家就很反對, 我記不大清楚了。 事隔八、 九年, 我回到台灣 · · ·
劉: 你中間有一陣子沒有回來台灣是這樣嗎?
項: 有一陣子我沒有回來台灣的原因是因為簽證有問題, 過了一段時間後, 也沒那麼大問題了,
   譬如說, 我不記得那一年, 我的三弟, 他是兄弟姐妹中最晚結婚的, 他結婚時, 我父母親要來
   美國, 結果簽證不准, 講明白了, 不准的理由就是你家的老二不乖。
劉: 我們再回到原先的問題, 你說你是 89 年回來是吧?
張: 中間經過八、 九年, 可能是 1979 年。
項: 79 年。
張: 79 年, 我記得在清華大學碰到你。
項: 我大概 79年回來, 經過了一段時間回來, 回來後, 老賴告訴我, 現在那些中學老師懂得向量,
   也用向量編書跟解題目, 用向量來解題目是他們的愛好。 這顯示你的改革需要一個過程。 剛
   開始, 他不懂向量好在那裡? 因為他不熟悉, 他就有抵制情緒。 後來他慢慢搞懂了, 這當然
   是一個很有力的工具。 我要講的就是這一點。
劉: 我記得大學的時候, 你回來過, 講到 Minimal surface, 是 196 幾年?
張: 暑期科學研討會, 暑假的時候。
劉: 你提到陳先生、 Simon 他們做的研究。
項: 我想是這樣。
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劉: 我想問一下, Simon, 你認得他嗎? 他後來離開數學, 也算是個傳奇人物, 跟我們談談 Simon
   這個人。
項: 我認得, 也見過他, 但跟他不熟。 他在 Berkeley 做研究生, 暑假的時候, 很多人都不在, 他當
   時對 Morse theory 有興趣, 他就貼個公告: 我現在要講一個 seminar: 跟大家來講 Morse
   theory。 他是一個很有自信、 開朗的人, 他到了 Berkeley, 基本上自己在研討 Curvature,
   他後來發現一些結果, 就跑到 MIT, 跟 Ambrose 討論, 回來就寫了他的博士論文。 所以
   Simon 的博士論文是關於 Riemann curvature 黎曼幾何的工作, 然後他就去 Princeton
   的 IDA (Institute of Defense Analysis)。 在那裡工作以後, 他突然對 Minimal surface
   有興趣, 他做的那個工作, 是一個很好的工作, 因為這個工作, 陳先生推薦他得了 Veblen
   獎, 幾何的 Veblen 獎, 得了獎之後, Stony Brook 請他去做系主任, 後來重要的工作則是
   Chern—Simon invariant。
劉: 然後他就去賺錢?
項: 去 Wall street 賺錢去了。
劉: 賺了很多錢。
項: 他當然比現在的 Nobel 獎的經濟學家數學好很多, 他大概是賺很多。
劉 (笑): 我想起這件事是因為你那次回來演講提到 Simon。
項: 對。
劉: 不過, 我們接著你剛剛的話題, 我剛剛想要問的其實是, 你剛才說的是數學教育方面, 你這
   麼多年, 實在可以說是一個老台大, 你對台大的數學系有什麼感想或看法? 我記得, 很早以
   前, 許振榮先生談起台大數學系傑出的人就會說起項氏兄弟, 所以你在台大一方面很早, 又
   一直關心著, 所以我才問你這問題。
項: 我實在講不出太多特別的感想 (劉笑)。 你問我這個問題, 我每次來了, 例如 1970 年, 一方
   面是用功的講 數學概論 , 跟學生座談, 那時候我覺得學生很好學, 演講時, 課堂上的人也
   滿滿的, 聽了之後, 大家也都很用心, 會到辦公室來問問題。 那時候, 聽 數學概論 的熱
   忱比現在可能好不少。 這是那個時候的感覺。 另外一個則是改革中學數學的事情, 所以我等
   於是臨危受命, 整個台灣實在搞得亂七八糟, 不得不披掛上陣來做這件事情。
劉: OK。
項: 主要是這樣。 到後來我可以回來, 就常回來, 但時間比較短, 另外有個事情, 從我 1973 年去
   中國, 去中國時有個感覺, 釣魚台的事情我沒參加, 1970 年時, 就是釣魚台的事情, 我在這
   裡忙這些事情, 釣魚台到底發生什麼事, 我都沒搞清楚。 73 年第一次去中國。 那一年我通過
   羅湖橋, 已經 25 年沒回到中國了。 我能夠想到中國的就是中國的地圖, 像個秋海棠的葉子,
   上面缺個外蒙古, 我腦子裡能夠想到的中國就是這個。 那時回到中國, 他們搞教育革命什麼
   之類的, 參加加州教授的訪問團, 到處去跑了一趟。
                                           專訪項武義教授 9
劉: 那是文革的中間?
項: 文革沒有完, 文革的後期, 四人幫倒台之前。
張: 文革十年, 這時大約第八年了。
項: 可是那時已經開始搞教育革命。 鄧小平已經復出, 因為我在八達嶺的頂上最高處, 他們跟我
   說: 『你看, 小鄧在下面。』 鄧小平當時陪一個非洲國家的元首, 到八達嶺, 鄧小平很矮, 沒看
   清楚, 也搞不清楚那個是小鄧 (笑)。 再接著沒多久, 就開始批鄧了, 這是第一次回中國。 第
   二次是 78 年回去, 當時四人幫已經過了, 總之, 那時中國瀰漫著要搞四個現代化的氣氛。 所
   以你在北京街上走, 都聞得到四個現代化的氛圍。 記得我當時就跟婉貞說: 『中國搞四個現
   代化, 這不是第一次, 你算嘛, 這船堅炮利是一次, 戊戌政變是一次, 民國革命又是一次, 五
                           裡翻身, 要奮發圖強, 但以前每次都失敗。 希望這
   四運動 · · · , 這些都是想要把中國從沉
   次不是數學歸納法, 又失敗 (眾人笑); 不過以前失敗, 我們沒有責任, 因為我們根本不存在,
   但這次我們正當還有活力, 還年輕力壯的時候, 假如我們不盡心做點事, 成功的話, 成事不
   必在我, 沒有任何遺憾, 但是假如又失敗, 我們就覺得自愧、 無地自容了。』 我想有一點也可
   以講講的, 我不知道你們心裡怎麼樣? 我的感覺, 我們這一輩子、 這一年代的人, 唸中國近
   代史是含著眼淚唸的。 所以有個烙印, 假如有可能, 還是願意為中國的自強做點事。 所以我
   就跟婉貞說:『我們要考慮究竟我們這次能夠做什麼?』 講了之後, 我想到了, 至少有件事情
   可以做, 因為 73 年回去就知道, 回中國是不可以的, 其實我 73 年那時回去是想回北大做教
   授, 可去了之後, 周培源接見我, 見我們的時候, 段學複帶我過去, 他是系主任, 周先生開始
   講: 『我剛從井崗山考察訪問回來, 蔣介石在當年有多殘忍, 把一個老大娘抓起來, 她不招,
   不招怎麼辦? 拿火鉗把她舌頭夾出來。』 就這一類的話講個沒完, 段先生就跟他講:『周老, 武
   義又不是不懂事的人, 你跟他淨講這些幹嘛?』 周培源繼續講, 我懂了, 他就是要告訴我: 武
   義, 你切不可回中國來。 這句話他沒法講, 所以他用這個辦法把訊息傳給我, 我就跟婉貞說:
   『我們可以告辭了。』 果然, 73 年我回來之後, 中國越來越亂。 我從中懂了一點, 海外的人要
   回到中國去, 你不是回到中國, 而是回到某某黨委的屁股下面, 他一屁股坐在你上面, 你的
   天日就是那黨委的屁股, 這日子, 項武義沒法過, 而且你也無所作為, 那時就想, 又不能回
   中國, 中國現代化又想盡份心, 怎麼辦呢? 我當時想我至少可以寫本書, 給中國年輕人寫本
   書, 寫書能寫什麼呢? 不要寫李群, 不要寫微分幾何, 最有用的數學還是微積分! 埋頭工作,
   知其不可而為之, 寫一本 微積分大意 。 這本書怎麼寫的呢? 其實到那時候還沒教過微積
   分, 每個人要寫微積分, 都覺得他有個好主意, 寫來寫去每個人都一樣, 微積分好像是個大
   魔星, 大家寫了之後基本上都一樣, 所以呢, 寫微積分, 絕不參考任何其他書, 微積分究竟原
   本怎麼來的? 完全自己寫, 習題也不參考。 那個很辛苦, 我大概花了整整十個月的時間, 寫
   了一本 微積分大意 。 直接請人帶給方毅。
張: 方毅是人大的?

10 數學傳播 32 卷 4 期 民 97 年 12 月
項: 副總理, 是 science and education 的掌總 (czar), 我就寫了封信給方毅, 石沉大海, 一
   點消息也沒有。 到了 78 年四月, 鄧小平召開科技教育大會, 有朋友打電話來說在文匯報上
   看到個消息: 有個人作了瘋狂 (crazy) 的事情, 看來一定是你。 報上說: 海外有個熱心的人
   寫了 微積分大意 獻給全中國的青年, 科技大會在討論這件事, 我想這本書應該就有頭緒
   了, 可以印出來了, 但又沒有消息, 到了夏天, 我已經答應要去丹麥 Arhus 開一個 topology
   的會, 那天, 華盛頓聯絡處打電話來了: 『你申請要去中國的事情已經批准了。』 我說: 『我沒
   申請去中國啊。』 他說: 『是教育部給你一個邀請的信去中國訪問。』 我說: 『邀請, 那另當別
   事, 你把東西寄給我, 我考慮考慮。 申請是沒申請。』 後來我給 Arhus 寫了封信, 因為個人
   因素 (笑), 所以無法前往, 我就去中國。 78 年去中國, 他們以為我是微積分專家, 全中國找
   了五百個人 (眾笑) 在清華大學半圓形的教室裡講課, 上午就講微積分, 講了之後就座談討
   論, 後來就出來這本書— 微積分大意 。
劉: 我們來換個話題, 你在 Berkeley 很多年, 你去 Berkeley 的時候, 數學系應該 if it is not
   very top, is among very top, 是不是?
項: 我想這很簡單, Berkeley 的數學系是一個中心。 那時就請了陳先生跟 Smale, 他們兩人在
   系裡是 leader, Smale 是 Dynamic System 方面, 他那時拓樸已經不大有興趣。 陳先生
   呢, 是在幾何, 當然, Hans Lewy, Morrey 也在那裡, 當時 Berkeley 校長是一位經濟學
   家, 他說: 州政府重視教育, 撥了一筆錢給 Berkeley, 他就懂得說, 這錢雖然不少, 但不能
   跨著用, 要有重心, 其一就是數學, 第一件事便是請陳先生跟 Smale, 而且煞費苦心, 為了
   請陳先生, 甚至還先將陳先生當年在芝加哥大學的夥伴, Spanier 先請去。 我想, 這影響很
   大, 現在 Berkeley 情況又有改變了。
劉: 整個美國情況也改變, 是比較 homogenized, 這是世界的一個趨勢。 你在 Berkeley 的時
   候, 這些人有沒有故事可以說一說? Hans Lewy 這個人我曉得, 他個子不高嘛, 但一直到
   年紀很大, 還非常 sharp。
項: Hans Lewy 是一個學者, 幾乎有點孩子氣, 我當然很尊敬他, 見了面也很客氣, 我跟 Hans
   Lewy 還有一個值得記憶的 contact, 因為那時我開始研究用對稱性來構造 minimal sub-
   manifold, 我就想解決一個問題: 在一個高維單位球面, 能不能構造一個 minimal sub-
   manifold, 它是 exotic sphere, 我的思想很簡單, 這種 exotic sphere 是存在的, 但是假如
   在其他自然的領域裡永遠不出現的話, 這也只是源於一時的好奇。 因為我開始做論文就研究
   exotic sphere, 雖然是 exotic 其實它還是很對稱的。 所以我就開始研究 exotic sphere 的
   對稱性, 其中有一種的軌道空間變成只有一維, 等於是一個 generalized rotational man-
   ifold。 總之能否構造這樣一個解? 這就 reduce 到某種在三維空間的 ODE 能夠要有一個
   滿足特殊性質的解, 但是這個 ODE 很複雜。
劉: 必須要去面對 ODE。
                                                             專訪項武義教授 11
項: 面對 ODE 都不簡單, 不過呢, 別的地方都躲過了, 這裡卻躲不過, 這個部分非克服不可 (劉
   笑), 所以我就約了 Hans Lewy 吃中飯, 我把這個 ODE 先寫好, 拿給他看。 他很老到, 他
   便先說: Being an analyst, you know most equations we don’t know how to solve。
   先給自己留了退步, 他再拿起東西看, 先拿筆, 中間覺得不大好處理的, 劃掉, 接著看, 又
   劃掉另一項, 結果全劃光了! 零等於零 (眾人笑)。 我要講的是我從那裡面還是學到一些東
   西, 我學到了當你遇到一個東西不會解的話, 你先看簡化一點的東西能不能解 (這就是他那
   劃掉某些項的意思), 解了以後, 再把那個簡化的解跟你要解的解做比較。 那時我腦袋瓜要
   做的是微分幾何, 做 exotic sphere, 現在我自我批評, 發現那時有點想要出奇致勝, 那時,
   我正好回到中國要做中學數學, 有時也忙得沒時間去想這東西。 從 78～81 年, 我覺得中學
   數學的事情已經暫時穩住了, 可以說我那時是兩邊作戰, 東線跟西線, 覺得東線穩定了, 現
   在要回來做西線的問題, 可是當我回來時, 我自己的感覺, 研究基礎的數學, 其實對自己也
   有去蕪存菁, 返璞歸真的效應, 所以我回來後就暫且不問 exotic sphere, 而問在空間裡面,
   有沒有常均曲率的封閉空間, 就是 soup bubble。 在歐氏空間裡面有那些 soup bubble?
   自古到今, Euler 就在研究 soup bubble, 所能見到就只有一個例子, 那個圓圓的球面, 一
   個圓圓的球什麼都等於常數, 好比你做分析, 你有的只是常數函數解, 你能見到的只有常數
   函數是你想解的問題之解。 從微分幾何知道有兩個定理, 因為 Euler, Monge 開始, 唯一的
   例子就是 round sphere, 渾圓的球。 甚至使得你想可能就是唯一可能者, 所以 Hopf 認為
   應該就是如此, 但他又不會證。 但是他還是證明一個定理, 即假設二維的 soup bubble, 是
   genus zero, 他就能證明它是那個圓球, 這個加了條件的唯一性定理馬上影響到俄國人 A.
   D. Alexandroff, 他證了一個定理: 一個 soup bubble, 在任何 n 維的空間裡, 一個常均曲
   率的超曲面, 若是嵌入的, 那他就是一個渾圓的球, 用的方法就是 reflection symetric 和
   maximum principle, 他證完後, 又發表好幾篇文章, 就想把嵌入性丟掉, 代之以某些拓樸
   條件, 越講越糊塗。 最後那一篇文章他說其實 soup bubble 根本不要加條件, 就只有那個
   渾圓的球, 但他現在不會證, 只會加一些莫名其妙的條件, 那些條件應該是無關緊要的。 那
   時我就想, 假如我用四維的 R4 = R2 ⊕ R2 , 在每個 R2 中有旋轉對稱, 所以我假設, 滿足這
   樣兩個對稱性, 即是否有一個 SO2 × SO2 的對稱性者, 我馬上就寫下 reduced equation,
   軌道空間是一個象限, 那個 equation 是一個簡單的 ODE, 再者, 因為 ODE 變成只有三
   項, 把其中 1 項略去的話, 又有另外的對稱性, 因此就把它積出來, 它有 first integral, 我
   把這函數做為一個輔助, 代到原來的 equation, 函數在變, 但其變化是比較規則的, 我要控
   制這個變化, 解的曲線的幾何就可以控制了。 由此不難得出無窮多個 S 3 — soup bubbles,
   所以, 第一次有在四維以上找到 soup bubble, 而且還是球, 但它不是圓的球, 它們有 self
   intersection。
張: 所以不是嵌入, 是 immerse?
12 數學傳播 32 卷 4 期 民 97 年 12 月
項: immerse。
張: 自己有交集。
項: 對。 所以表示 Holf 定理只有在三維對, 到四維就不對了。 因為它是球面, Alexandroff 定
   理在四維以上也都不對。 我要講的是, 搞這個基礎的數學, 其實對我也有好處, 並不是只為
   了別人, 為了下一代, 因為自己開始做這種基礎東西, 你就會 purify 你的 mathematical
   thought, 數學的思維會更樸實, 所以我問的問題就不是 exotic sphere 而是 soup bubble,
   這個問題在幾何裡面, 更有重要性, 但是 equation 簡單多了, 後來 exotic sphere 也會解
   了。 因為一開始學到新的思想, 像 Spherical Bernstein, 那時我也做了一系列的工作, 基
   本上我在中國搞中學數學教育, 穩定了, 我再回來打西線的時候, 雖然不能說脫胎換骨, 至
   少有所改變, 像 Kepler, 他就是經歷苦算才變成實踐的科學家, 他剛開始是夢想的, 做苦
   工, 返璞歸真, 去蕪存菁對自己是自然的事情。 也許稍微講點基礎數學, 我有個感覺, 這基礎
   數學, 往這邊發展是比較深的前沿數學, 是 discovery, 另一邊則是 education。 我的說法,
   education 是大乘應用數學。 現在做的應用數學是小乘應用數學, 怎麼說呢? 大乘佛經是普
   度眾生, 小乘佛經是獨善其身, 所以小乘的應用數學是解決了個別的問題, 大乘應用數學使
   得廣大的人類下一代思維的訓練, 能夠善於認識問題, 是普度眾生。 可是現在的現況是, 不
   管是台灣也好, 中國也好, 美國也好, 關於普度眾生的應用數學是一大堆不懂數學的人要搞
   數學教育, 而懂數學的人拒絕去做這個。 也許其原因是此事其實也不簡單, 基礎數學你要懂
   得更深一步都很難, 吃力不討好, 所以不做。 現在全世界現況就跟金融風暴一樣, 苦海無邊。
   數學教育現在全世界不僅沒有普度眾生, 反而是苦海無邊。 我跟張海潮都覺得不忍卒睹, 卻
   無能為力, 人太少了。 你跟搞數學教育的講, 他們根本不聽也不懂, 反而說: 『你傷害到我的
   利益, 你知道嗎? 你給我滾遠點。』 你跟數學家講, 像陳先生反對我做這事, 就跟我說: 『武
   義, 你完全浪費青春。』 而且他一定講: 『這事情是純政治, 純政治的事, 你去搞它幹嘛? 你的
   才能應該好好拿來做數學的研究。』 這還是為了我好。 有些數學家, 他不但不去做這些基礎
   的數學, 其實要他做數學教育是不行的, 因為他沒有懂透徹, 他以偏概全說: 『這種東西我還
   不懂嗎? 這是沒什麼道理的東西!』 他不懂才講沒道理, 這就是現況! 還有一個笑話, 現在給
   我總的感覺, 因為基礎數學沒人下工夫, 數學研究跟基礎數學脫節了, 脫節久了, 數學研究
   必然趨於枯萎, 因為離根太遠的東西是長不好的。 譬如說做 string theory, string theory
   老天一定不用的嘛, 因為老天爺沒懂嘛, 我們生活的空間世界是精而簡, 他竟然說: 要他來
   指揮老天爺, 精簡的地方, 我不要做, 我一定要去做十維捲起來的東西, 這十維是什麼東西
   都搞不清楚, 這種數學越來越煩, 有點像當年托勒密的 epicycles。 我去復旦, 和辛元龍邊喝
   咖啡邊聊, 他說: 『你是一個比較奇怪的數學家, 前沿的數學跟基礎的數學是連起來的, 但大
   部分的數學家不連』(笑)。
劉: 我們談一下項武忠, 你們當初怎麼進入數學?
                                                           專訪項武義教授 13
項: 我們同時進數學系, 他從物理系轉來, 相當受施拱星剛回來講 abelian group 的影響, Ka-
   plansky 剛好出了一本書。
張: Infinite abelian group。
項: 項武忠學了很有興趣, 就仔細唸, 真正碰到了數學, 他那時就開始選高等幾何、 用 解析幾
   何與代數 這本書, 把書帶回家。 我對數學的興趣, 比他更早。 我很清楚自己對數學的啟蒙
   是小學剛畢業, 去上海中學借讀 初中補習班 , 上海中學是一所非常好的中學, 他當年跟
   英國伊頓中學是姐妹校, 雖然只唸了兩個月, 我就逃難到台灣來, 那時我唸到油印的一本書,
    從代數回到算術 , 他意思說, 很多刁鑽古怪的算術應用題不好做, 你就先學會代數後, 設
   個 x、 y、 z, 一列方程, 但是你解的時候, 用括弧表達其解, 這樣就是算術的公式, 整本書就
   在講這個。 可是我把它倒過來唸, 我從這裡看到算術到代數進一步是什麼, 所以他是代數回
   到算術, 而我則是算術到代數, 善用計算, 要有系統地用運算律來解決問題, 特別是分配律
   很重要, 有了這個理解, 我後來逃難逃到台灣, 我到附中, 附中有位老師自行貼了個布告, 說
   要辦全校高初中不分的數學競賽, 我偶然看到便去參加, 結果得到全校第一名, 那時初一上,
   我大概得了 78 到 80 分, 其他人都不及格。 老師就把我叫去, 中間有一題是韓信點兵, 他問:
   『你以前見過這問題?』 也許是我的回答不太恰當, 我說: 『我沒見過。』 可是還加了一句話:
   『我覺得所有題目裡, 就這題最有意思。』 從此他再也沒找過我。 總之在中學時我就自己學、
   自己看。 初一、 二, 我就看 范氏大代數 , 整本看完, 完全沒困難, 大概是初二, 我接觸到
   解析幾何。 是開明書局的 解析幾何 , 裡面我最欣賞的是圓錐曲線在平行轉軸之下的係數
   變化, 但它有變換之下的不變量。
張: 小行列式、 大行列式。
項: 還有 trace, 那時我印象很深刻: 變中間有不變的不變量, 對稱與不變量的理論是我對數學
   興趣的萌芽, 我十分欣賞不變量的思想, 並且用來解題目。 然後中間有一大段的時間, 數學
   沒有看到更好的書, 我也就沒有什麼進步, 我高一就對生物有興趣, 高二對化學有興趣, 跟
   那時的化學老師—江芷很要好, 便花很多時間去唸化學, 附中的圖書館有些莫名其妙的有機
   化學, 你拿那什麼東西跟什麼東西用幾度壓力多少加在一起煮多久, 便可出現百分之幾的東
   西, 這東西有什麼意思呢? 唸那理論化學, 我想, 我沒摸出這道理, 然後呢, 我到高中時, 項
   武忠已經進台大了, 我就可以用項武忠的借書證借台大的書。 以及項武忠帶回來的 解析幾
   何與代數 , 那是翻成中文的。
張: 樊 翻譯的, Introduction to Modern algebra and Matrix theory。
劉: 德國出的。
項: 因為那時 Sperner 訪問北京, 樊 是同濟大學的學生。
張: Sperner是作者, 他是 Schreier 的學生。
劉: 樊 在序上面寫著德國科技的進步。
14 數學傳播 32 卷 4 期 民 97 年 12 月
張: 那本書非常好。
項: 項武忠借來時, 是魯永容的書, 我沒事幹, 就拿來看, 一看就很有興趣, 基本上, 我不太吃力
   就全部看完了, 習題也全都做了, 平常的書, 我不太做習題, 看看覺得會了就不做了, 因為唸
   了那本書, 我才決定唸數學系。
張: 你唸 解析幾何與代數 這件事, 在我們讀書時, 很多人都知道。 你在一些場合跟研究生講
   過這件事, 所以班上很多人自動去唸這本書。
劉: 我是有唸那本書, 但為什麼唸那本我搞不清楚。
張: 很多研究生都推薦那本書, 我想是受你跟他們講的那件事的影響, 不過它也是唯一一本譯成
   中文的, 商務印書館出的。
項: 我是在高中時唸這本書, 而且那時我還唸了另一本書, 就是                       幾何原理 , 台大借來的,
                    幾何原理 。 其實我那時也沒完全決定要唸數學系, 也唸 Pauling 的
   Hilbert 的英文版
   Chemistry, 也唸大一物理, 到那時, 我英文才稍微好一點, 原來我英文最差, 我最討厭英
   文, 覺得英文沒有用 (眾人笑), 後來才察覺, 不懂英文, 沒辦法唸書, 英文才稍微有點起色。
劉: 基本上都是你自己的好學? 自己本身的好奇心? 你並不是那個老師特別給你啟蒙。
項: 說老實話, 從中學到大學, 甚至到軍訓以後, 這段時間好像生長在沙漠裡面。
劉: 台灣那時的環境就是這樣子。
項: 環境就像乾枯的沙漠, 種子拼命想找水源找不到! 要為年輕一代做點事也許是因為自己當年
   極有憾焉。
劉: 但你現在整個人精神狀態還是很年輕。
項: 這一輩子啊, 唯一的志趣就是承先啟後, 繼往開來。 這種志趣很簡樸, 至死方休。 若有一天,
   老年痴呆那就算了。 打起精神過日子, 日子還過得舒服點, 我想, 我給自己的簡單描述就是:
   雲遊老和尚回歸本寺 (劉笑), 對年輕一代的情緣未了, 所以還會回來跟這邊還有中國大陸
   的學生們講: 承先啟後、 繼往開來, 數學與文明諸如此類的事情。 第二件事情要追尋探索大
   自然的精簡, 熱忱未減。
劉: 非常好。 我們可以用這做為結語。
項: 第三點, 知其不可而為之的事情少做點, 因為來日不多了。
劉: 最後這句可以省下來。(眾人笑)
項: 基本上就這樣。
劉: 活著就是要這樣, 沒有錯。
項: 從小, 我就相當苦惱, 連那一本好書都不知道。 有一件遺憾的事情, 我唸大學時, 從未唸過
   Courant-Hilbert 的書。
劉: Courant-Hilbert 的 Methods of Mathematical Physics。
                                                      專訪項武義教授 15
項: 假如我在二年級看到這本書, 一定愛不釋手, 而且唸得很仔細, 我的分析就不至於那麼差
   (張笑)。 我是很後來才碰到, 年紀大了, 就偶爾翻翻, 沒像年輕時看得那麼仔細。 還有一個
   是我想我更適於唸物理, 但當時在台灣沒辦法, 數學可以自學, 但物理不行! 你剛剛問的問
   題, 項武忠大三轉進數學系, 而我是大一, 所以我們兩個基本上會互相討論, 一直到大四以
   後, 他就出國了。 後來到 Princeton, 那一段我們也沒太多交流, 因為大家都忙, 後來我做論
   文的時候發現 transformation group 有廣闊的天地, 所以我跟項武忠有 3～4 年 intense
   一起做 transformation group, 李群跟幾何是我比較擅長的東西, 裡面用到的拓樸是他的
   強項, 後來我到芝加哥、 Berkeley 去了, 他走的方向是更多更深的拓樸方向, 我則是往幾何
   方向發展。 項武忠當然是我的益友, 回想起來我似乎始終沒碰到真正的良師 (劉笑)。 也許是
   我的脾氣不好, 唯一有那麼一點像良師的或許是陳先生, 我跟他相處很久, 我從陳先生得益
   的有一句話, 在我大三下時, 陳先生第一次回這裡, 給了幾個演講。 那時懂不懂沒關係, 至少
   開了眼界, 什麼是有意思的數學。 之後我們去看陳先生, 陳先生還花時間跟我們每個人談了
   幾分鐘, 我那時還把我發表的第一篇論文 On distribution law (分配律) 帶去給陳先生。
張: 發表在 Transactions?
項: 發表在 Proceedings, 這是我第一篇文章, 大約是大三下, 他說: 『武義, 你在這個程度, 能
   寫這樣文章, 當然很好, 但是一個數學家, 他的志趣是要使得你的工作, 使得數學能夠真正
   有所進步。』 我覺得陳先生教我 (笑) 印象最深的就是這一句話。 我在 Berkeley 做微分幾
   何的路跟陳先生完全不一樣, 是用對稱, 他是善用 moving frame。 跟陳先生大概是亦師亦
   友。
劉: 我們之後會把這份紀錄寄給項武忠一份。 好極了, 今天謝謝你。 不過, 今天跟你聊了之後, 加
   上之前側面聽到你的那些事情, It makes sense to me, that’s very nice, I’m happy for
   myself, 這是真的。 大家都要設法做點事, 可以互相鼓勵的地方, 非常好, 謝謝你。

—本文訪問者劉太平任職中央研究院數學所, 張海潮為台大數學系退休教授, 整理者林思華為
中央研究院數學所助理—

數學傳播 30 卷 3 期, pp. 3-10
有朋自遠方來一一
                 專訪Uhlenbeck 教授
                                        策 劃 : 劉太平
                                        訪 問 : 李瑩英、 劉太平、 黃藍萱
                                        時 間 : 民國94 年 12 月 24 日
                                        地 點 : 台大數學系
                                        整 理 : 黃藍萱
        女性數學家 Karen Uhlenbeck 教授, 1964 年密西根大學學士, 1968 年 Bran-
    deis 大學博士。 Uhlenbeck教授在大域分析 (global analysis)、 規範理論 (gauge
    theory) 和可積系統有突破性、 開創性的貢獻, 得過多項榮譽, 包括 U.S. National
    Medal of Science, 美國國家科學院院士。 現任教 Texas(Austin) 大學。


李瑩英(以下簡稱「李」): 1994 年時, 你在普林斯頓的高等研究院開始一個給女性數學家的指導
   計畫, 請你談一下當初的動機、 環境和目前的情況。
Uhlenbeck: (以下簡稱 「 U」): 當我還是學生時, 男女平權並不是一個議題。 沒有人對這樣的
   問題感興趣, 不久之後 AWM (Association for Women in Mathematics) 成立, 接連開
   始討論許多關於女性的議題。 那時有不少計畫, 一些政策上的決定對數學不利, 不過如果你
   想成為數學家, 只需要專注於數學。 在我的年代和楚蓮1 的年代, 每個人都相信情況正在好
   轉中, 所以我們並沒有採取任何行動。 直到我找到第一份工作, 才發現女性數學家受到的歧
   視, 但是我們仍然相信情況會好轉, 那時已經可以聽到有人談著要去除法制條文上對於女數
   學家及其他少數團體的設限。
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    滕楚蓮: 台大數學系友, 目前任教於 UC Irvine 數學系。
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4 數學傳播 30 卷 3 期 民 95 年 9 月
   可是到 80、 90 初期, 情況並不像我們當初想像的好轉, 當時女性們確實處在不利的環境, 楚
   蓮、 Gin Taylor 和我體認到我們必須採取行動, 於是我們便開始參與這個計劃。 1991 年
   在 Park City Mathematics Institute, 我和一群數學家在國家科學基金會 (National
   Science Foundation) 的補助下開始著手這個普林斯頓高等研究院的計畫。 然而, 幾年之
   後我們注意到仍然沒有很多女數學家參與, 我們開始積極鼓勵女性申請。 這個計劃以前是
   10 天, 現在為期兩個星期。 我們提供給大學部學生或開始作研究的女數學家許多不同的機
   會。 我認為這是一個很好的計畫。
李: 你認為現在情況好轉了嗎?
U: 是的, 現在情況改變了, 但是我仍然看見那些女數學家使勁的奮鬥, 為了能融入數學系而在
   細微的地方奮鬥。 我不認為現在還存有任何的歧視, 但是困難仍然存在。 要兼顧家庭和專業
   的領域, 原本就很困難, 這對於男性或是女性都是難事, 但是對於女性尤其艱難, 女性古典
   音樂家也同樣的辛苦, 數學生涯並不是一個特例。
   孩子的養育很重要又所費不貲。 當我年輕時, 教育孩子沒有如此昂貴, 因為在那時我們算是
   比較高薪的階級, 如果夫婦倆都是助理教授, 兩人的薪水僱用保姆和負擔醫療保險, 綽綽有
   餘, 但現在美國的環境, 學術界的女性必須為金錢煩惱。
李: Park City 這個女性數學家的計畫, 每年都有一些特別的主題, 除了數學領域, 有時也涵跨
   了其他科學的領域, 有各種不同背景的學者, 演講者, 及學生參與這個計畫。
U: 一開始這是和幾何相關的計畫, 之後轉移到其他的計畫, 每年有不同的主題, 我們試著選擇
   跟普林斯頓數學系和高等研究院的研究相關的方向, 在那些主題下, 我們又可以邀請傑出的
   女數學家。
   還有, 我對念應用數學的學生比較偏心, 這是因為應用數學領域很顯然地能提供更多的機
   會。 很簡單地, 在應用領域中的數學家有更多的工作機會。 我和許多人認為, 女數學家通常
   有更好的社交手腕, 女性通常較具有溝通能力而且善於和他人互動, 這些能力使得女性在
   應用數學有較好的表現, 比較能夠和科學中非數學領域的人討論。 這是女性在應用數學的優
   點。
劉太平(以下簡稱「劉」): 就科學研究來說, 應用數學也有更多的機會。
U: 很奇怪的, 我發現應用數學的學術圈並不像純數那麼擁擠。 我開始學幾何的時候, 只有我們
   幾個人, 我當時非常興奮。 但是我發現現在太過擁擠了, 太多人研究幾何相關的問題。
劉: 當你說當年學術圈並不擁擠, 那時你是否感覺孤單, 而現在你應該感覺更加興奮?
U: 我不知道, 現在的環境並不是那麼讓人興奮, 我過去能知道所有的女數學家, 現在有太多我
   不知道的人了。
劉: 你是讓幾何變成如此令人興奮的領域的主要數學家之一。
                                                專訪 Uhlenbeck 教授 5
U: 謝謝。 我回頭看我的研究生涯, 當我開始研究不同的問題時, 那是很令人興奮。 我開始研究
   Lorentz 流型上的測地線, 然後是關於偏微分方程平滑性的估計 (hard estimate for regu-
   larity of PDE), 之後研究最小曲面問題和規範理論 (gauge theory)。 我曾經試著研究保角
   場論 (conformal field theory) 中的數學理論, 那是數學物理中的一大難題。 然後我做過可
   積系統 (integrable system), 現在我試著研究非線性波系統 (nonlinear wave systems),
   這個領域更加的困難。
李: 是什麼使你改變研究方向?
U: 我試著到處看看哪些問題有意思, 我只做那些我感興趣的問題。 在我剛開始學術生涯時, 我
   並沒有和其他女數學家合作, 現在我有一些合作者, 我和 Andrea Nahmod 及 Atanas
   Stefanov 合作非線性波的問題, 和楚蓮合作可積系統, 和其他人合作其他的問題。
劉: 也許 『興趣』 是個關鍵字。 不同的人對不同的事感興趣, 什麼事讓你感興趣呢?
U: 我猜應該是那些數學中不同概念之間內在的關連, 我是指數學裡不同領域之間的關聯。最小
   曲面的問題, 我們可以從拓樸、 從代數, 或是我花最多時間研究的硬分析(hard analysis)
   的觀點來處理。 規範場理論尤其是這樣, 裡頭含有代數拓樸, 硬分析, 硬拓樸 (hard topol-
   ogy), 我覺得這領域非常有趣。 我其實一真想了解可積系統。 我花了兩年的時間才真正了解
   了代數和分析在這個問題上的關係, 我現在好像了解了這個問題, 但是我不確定在代數方面
   的障礙, 我能有多少進展。 關於非線性波的問題, 我感覺處理這問題正確的工具還沒有發展
   出來, 我仍然在思索處理這問題的正確方向。 我希望大家能夠有好的主意來更深入了解這個
   問題。 舉例來說, 了解非線性波是了解歧異性 (singularities) 很好的模型。 我們還沒有正確
   的方式可以用來描述或是想像這些歧異性是什麼, 我覺得這是個非常寬闊, 有潛力的領域,
   但我已經 63 歲了, 我不知道我能否有夠多的想法。
劉: 你正談到歧異性這個核心的議題。 這是個非常重要的領域, 你研究過肥皂泡的現象 (bubble
   phenomenon)。
U: 事實上, 我記得當時我在思考這個問題時, 我和那些正在研究最小曲面問題的數學家交談, 解
   決了最小曲面後, 嘗試研究黎曼映射問題 (Riemann mapping problem), 這些都有不同的
   尺度的現象, 這在非線性波的問題中也出現, 還沒有完全解決。 非線性波在不同的尺度之間
   如何交互作用, 非常複雜, 我們目前還沒有數學工具, 即使是數值分析也是相當困難。 當我研
   究這個問題的時候想得很天真, 我想 『當我學了一些電腦分析和具備了幾何的觀點, 再用上
   偏微分方程的硬分析, 應該可以給我一些東西。』 但是我很快就發現電腦分析所需要的想法
   甚至比純數學更多, 如果你只是把一些東西輸入電腦, 它不一定會給你想要的結果。 這對我
   而言是個革命, 在那之前我對於數值分析領域的人有錯誤的看法, 事實上, 他們必須有想法
   才行。
6 數學傳播 30 卷 3 期 民 95 年 9 月
劉: 我以前的一個同事 Babuska 說過: 『即使你有 90%的計算結果都是正確的, 問題是: 如何
   弄清楚哪 90%是正確的。』 在台灣, 數學系的大學生和研究生還不能充份地欣賞計算這個領
   域。
U: 如果你學計算, 特別是模型建構, 其中一個工作是如何選擇問題而能真的寫下方程式, 然後
   再做計算。 如果你這樣做, 其實就算是跨領域的。 事實上數學系喪失了大部份這樣的人才,
   生物系非常地需要那些研究生物問題的數學家, 於是很多這樣的數學家便離開了數學系, 以
   純數的觀點來說他們是離開了數學系, 我認為數學系應用人才的流失是很嚴重的問題, 因為
   在生物和計算領域中, 機會和財力都是如此的龐大。
劉: 很多數學系試著保持純數的傳統。
U: 事實上那會引起更多的問題。 過去數學系試著保持著純數的研究, 但是我不知道現在哪一個
   數學系還是持續著維持純數研究的傳統, 也許台灣比美國嚴重。 我們事實上知道數學必須和
   應用保持接觸, 在某些意義上對學生而言是個很好的機會。
黃藍萱(以下簡稱「黃」): 每個星期在 Stanford 我們科學領域的女性們有固定的聚會, 一位女性
   生物學家之前也曾在 Stanford 數學系念過研究所, 她提到她很多念數學的朋友, 在拿到數
   學博士後, 走向不同的領域, 像 NASA, JPMorgan, 企業界等等, 也許在美國, 那些離開
   數學界的人, 仍有很多不同的工作機會。
U: 事實上他們並沒有離開數學界, 很多領域需要的是數學人才而不是數學研究的題材, 他們想
   要的是數學家擁有的思考模式, 他們根據經驗發現數學的思考模式其實非常有用。
   你之前提的那些人不做純數學的研究, 但是純數學研究只是數學的一小部份。 我們的工作不
   是只培育數學家, 雖然很多數學家是這樣想的, 事實上, 我最好的一些學生從事完全不同的
   工作, 有些從事教育, 我有兩個女學生和一個男學生, 這個男學生確定他想要教書, 他想要從
   事做一點研究而更多心力放在教書的工作, 我很鼓勵他。 事實上, 我不鼓勵那些不喜歡教書
   的純數學生。 如果他們不愛教書, 在大學裡身為一個純數數學家是很無趣的事, 因為他們的
   工作是和大學部學生、 研究生、 博士後研究互動。 當然有的數學家只做研究而不教書, 但那
   是很奇怪的事。
   我必須說, 當你年紀漸長時, 你必須更小心的管理你的時間, 特別是女性, 教學和研究可以
   花掉你所有的時間。

 李: 我沒有足夠的時間。
U: 我知道你沒有足夠的時間, 但是你有足夠的體力, 我已經沒有足夠的體力去做所有我想要做
   的事情。 你最好和很多其它系有良好的關係, 鼓勵你的學生去資訊系、 生物系等修課。 尤其
   是資訊系, 那裡提供了很多適合那些做數論和代數的純數學家的課程。
劉: 當你回想你早期的生涯, 你週遭有許多令人興奮的事和人, 請你談談那些。
                                                  專訪 Uhlenbeck 教授 7
U: 我記得非常清楚, 1979或1980年在普林斯頓高等研究院, 丘成桐籌劃了一個會議, 每次我回
   想起來, 我是裡頭年紀最大的, 那時 38 歲, 丘比我年輕五歲, Leon Simon 也是其中年紀最
   大的人之一, Jean Pierre Bourguignon 也是差不多我的年紀, 其他年輕的人, 像是 Peter
   Li, Robert Bryant 才剛拿到博士學位。 我第一次花那麼多時間和其他的數學家討論, 的
   確是令人興奮的時刻。 我從那時候開始和 Richard Schoen 合作, 這是我第一次參與數學
   界的學術圈, 之前我比較孤立。 我一直認為丘成桐是我最欣賞的人之一, 我覺得他像是一個
   將軍在全世界中行軍, 多年來他一直是很好的將軍, 而且仍然帶領許多數學家前進。 我將我
   在數學學術圈裡真正起步歸功於他, 他仍然給予很多學生這樣的起步。 那時真是令人興奮的
   時刻。
劉: 在 1979 年以前, 你已經非常有成就了。
U: 是的, 但是我都是自己完成的。 我和一些學生合作, 像是我在伊利諾大學 Urbana-Cham-
   paign 校區的博士後研究 Jonathan Sack, 我也和 Lesley Sibner 和 Robert Sibner 有
   些合作。
   我跟你們說一個故事, 記得在 1971 或 1972 的暑假, 我在 Trieste 遇到 Lesley Sibner, 我
   當時是個聽眾, 她穿著紫色皮草粉紅套裝演講, 她講非線性 Hodge 定理, 用一個我當時正
   在思考的形式: 那是一個令人驚奇的時候。 我總記得當我遇見她, 我很興奮, 她是個成熟世
   故的紐約人, 我覺得自己是個鄉下女孩, 而我們成了很好的朋友。
   我結婚後搬到 Brandeis 大學, 在我得到博士學位之前, 曾經在紐約大學 (New York Uni-
   versity) 當過一年的學生, Cathleen Morawetz 是我第二學期的複變老師, 我當時對她不
   特別的欣賞, 她看起來總是那麼疲倦但是她很努力的講課。 很多年之後, 當我差不多是她當
   時那個年紀的時候, 我想起她, 也覺得如果她當年可以做, 我也可以做。 那時, 她有青少年期
   的小孩, 有四個, 她在教書的同時還扶養四個小孩, 依然如此成功。 我總覺得榜樣是非常重
   要的, 有各種不同類型的榜樣使你崇拜著是很重要的。 Cathleen現在依然每天到 Courant
   Institute, 上次我去 Courant Institute 還曾和她討論。
劉: 在 1979 年以前, 你大部分的工作都是自己完成的, 你是如何發現那些問題的?
U: 我的論文是關於變分法 (calculus of variation), 所以我知道這方面的問題。 我知道我必
   須證明存在性, 我知道得到存在性所有該做的事, 那些都是非常經典的問題, 當時有的理論
   並沒有辦法用來做那些經典的問題, 我的論文是關於大域分析 (global analysis), 而我們
   第一個用在三維拓樸上的是大域分析各個大理論中的非線性分析, 基本上, 是幾何中非線
   性問題的解法。 問題是, 大域分析並不能解決任何其它的問題, 也不會引導出其它的問題,
   這個理論需要大的技巧性工具, 對學生相當難, 那時幾何中的非線性熱流 (nonlinear heat
   flow), 沒有發表的學術文章可以學, 它是非常經典的理論卻不是很有意思, 非常標準的理
8 數學傳播 30 卷 3 期 民 95 年 9 月
   論, 卻沒有在任何地方被寫下來, 大家仍在引用 1967 年 Eells 和 Sampson 在流型上的分
   析那篇文章, 我的論文指導教授 Palais 教我流型上基本的分析, 但是從那裡沒辦法做其它
   的問題, 所以那些論文研究大域分析的人紛紛做不同的事。 那時候我知道該做什麼問題, 我
   知道抽象的創建, 我只是不知道如何解決, 但是我有了一些起步。 我研究測地線, 最小曲面
   和 regularity 理論。
   事實上, 我最難的一篇文章是 1977 年的 Regularity for a Class of Non-linear Elliptic
   Systems。 關於這篇文章我有一個故事, 我著手這篇文章的過程非常的艱辛, 我遇見 J ? rgen          u
   Moser, 我念他的文章。 他對我非常好, 他很友善而且很幫助我。 我念了所謂的 Moser it-
   eration, 我從來沒有和其他人談過。 在某個時候, 70 年代中期, 我不記得為何我會在 Stan-
   ford, 但是我記得我走進丘成桐辦公室, Schoen 當時也在那裡, 他們問起這篇文章, 我非常
   的驚訝, 我以為沒有人會注意到這篇文章, 從來沒有人問過我這件事, 我驚訝有人知道這篇
   文章。 這篇文章是後來能得到 p harmonic map 的 regularity 的一個動機。
劉: 當你說你知道那些問題, 這表示你面臨了這些問題, 而把危機化為轉機。
U: 是的。 事實上我仍然記得 Guisti regularity theory。 當我還是研究生時, 我知道一些新引
   進的技巧, Palais 是一個非常好的論文指導教授, 當我問他熱方程, 他是那種會給我一小時
   的課, 把接下來 15 年所有關於熱方程我必須知道的事情都教給我, 現在我當然知道更多關
   於熱方程。 他那時候也許對 Guisti 的文章感興趣, 我念了他的幾篇文章, 我發現念文章要
   花好幾個月的時間, 而不是念過而已, 你必須真的花時間好好想過。我沒有念過很多文章但
   是我從每篇念過的文章學到很多。 但是現在我不像以前那麼知道該念哪篇文章, 現在這不是
   那麼清楚了。
劉: 大家都知道 Uhlenbeck 是多麼的傑出, 但在正確的時刻進入一個領域也是很重要的。
U: 這點非常重要。 事實上關於研究哪個領域, 我現在不知道該給年輕人什麼好的建議, 我不是那
   麼確定。 我用心想一些, 也到處看看物理方面的幾何進展得如何, 現在是非常的代數, 是代數
   幾何。 事實上這是為什麼我不再做我的論文方面的題目, 因為物理中幾何是非常的代數。我
   念了一點相關的, 但是我已經太老以至於不能學習, 我非常清楚因為我了解在可積系統裡的
   問題, 那裡有個在硬分析和我們所謂loop group actions 的落差, 只有當你可以做 scat-
   tering 理論時, 才能以分析的角度適當地寫下這個問題。 如果你不做 scattering 理論, 你
   必須做非常代數的部份。
黃: 那關於廣義相對論呢?
U: 我告訴你一個我個人關於廣義相對論的故事。 當我從 Brandeis 拿到博士學位之後, 我的論
   文指導老師 Palais 送我到加州大學柏克萊分校去學廣義相對論。 從 Abe Taub 我學了兩
   學期的狹義和廣義相對論, 還有量子場論, 跟 Rag Sacks 學了一個學期, Taub是個非常好
                                               專訪 Uhlenbeck 教授 9
    的人。 我當時在柏克萊是個講師, 但是即使你拿到博士學位, 你還是應該坐在教室裡聽課。
    當時有很多數學家也在那堂課裡聽課, 其中還有一個研究 compact groups 的年輕助理教
    授。 因為有很多數學家在課堂上, 事實上其他研究生會有一點挫折感。 那正是越戰的時候,
    到處有遊行, 課程取消了, 所以其實談到的並不是很多, 但那時非數學性的學生活動非常令
    人興奮。 但不管如何, 當我發現研究相對論, 宇宙學你必須把 Navier-Stokes 方程式放在右
    手邊時, 我就覺得那太難了, 只有當你了解 Navier-Stokes 方程式和流體力學後, 才有可能
    了解廣義相對論。
    我在大學部當學生時, 試過證明正質量定理 (Positive mass theorem), 我的論文指導老師
    告訴我, 關於這個問題可能一個解決的方向是用積分的技巧, 我記得不是很清楚, 因為我並
    沒有任何進展。 我寫了一篇關於 Lorentz 流型上的測地線的文章, 我實際上學了不少關於
    complete geodesics 和相關的事情。 我其後的工作是在 MIT 和伊利諾大學 Champaign
    分校, 當時我花時間念 Penrose 和 Hawking 那時的文章, 但是那時沒有人研究這個領域,
    我是當時唯一一個研究 Lorentz 幾何的人, 當我開始作最小曲面的問題, 那是一個更困難
    的領域。 有趣的是, 幾年之後, 其他人回過頭去念他們這些文章, 我遇到那些念過這些文章
    的人, 但是我並沒有再重新研究這些。
劉: 你只是跟著你的直覺然後做你想要做的問題。
U: 就像我告訴你的, 也許我改做非線性波方程並不是特別好的部份, 當初的動機是好的, 我之
    前知道的不夠多, 我花了很長的時間在基本的事情, 我仍然不知道該念哪一篇文章, 有一些
    文章, 不過它們都非常困難。 在這個領域裡最聰明的人是 Terry Tao2 , 我對他並不很了解,
    他非常年輕而且做了很多不同的事, 我們可以等著看他可以做出什麼, 他是一個在澳洲出生
    的中國人, 他作數論, 調和分析 (harmonic analysis), 偏微分方程。 如果讓我從我了解的
    領域裡挑一個人, 我覺得你應該留意他, 他是一個真的很聰明的年輕人, 也許在代數幾何或
    其他學科也有很聰明的人, 但是我是指就我所知的數學領域來說。
劉: 每個世代都有聰明的人, 這是很好的事情, 對現在這些年輕人來說, 還有很多可能性也是極
    好的。
U: 你說的對, 我正在想這個事。 有點令人失望的是, 沒有特別天才的女數學家。 但是, 例如丘
    成桐的學生劉秋菊3 (Mellisa Liu) 做了很多不同的事, 廣義相對論, Yang-Mills, 量子場
    論。 她做的很好而且比 Terry Tao 年輕, 也許她會感覺到更多的壓力, 就因為她是個台灣
    女數學家。 田剛的學生 Francis Kirwan 也做得很好, 她在英國的系統下教書, 這對她很好,
    她可以撫育小孩而不用擔心任何事。 事實上, 英國系統有一些好處因為你得到的工作是永久
    的。
   2
     Terry Tao 為 2006 年費爾茲獎得主之一。
   3
     劉秋菊為台大數學系系友。
10 數學傳播 30 卷 3 期 民 95 年 9 月
李: 我也聽說你對於研究的方向有非常強的直覺, 這是從你的個性而來的嗎?
U: 你必須花很多的時間想問題。 我年輕的時候, 很不容易入睡, 所以用了大量的時間在床上想
   數學問題。 建立直覺是很困難的, 但你總要花時間想問題, 而我不確定要如何教導他人建立
   直覺。
劉: 也許你可以告訴我們你的童年時代。
U: 我父母親是他們家族中第一代上大學的, 他們在 1932 年上大學, 那時正值大蕭條 (Great
   depression)。 我父母親非常保守, 我父親是一位工程師, 母親是藝術家而在高中教美術。 他
   們在當時過得很艱苦, 我父親從 MIT 大學畢業後到 Utah 開始他第一份工作。 他們沒有
   提過太多, 但是我知道父親進入 MIT 時得到獎助, 母親在藝術學院念書, 但是她體認到她
   不能把當藝術家做為正職, 所以轉換到高中當老師。 這大致上是他們對我的影響。 跟我同年
   紀的人, 他們的父母在大蕭條的時候都有過苦處, 生活是很艱辛的。
   1942 年, 當我父母親有足夠的錢有小孩時, 我在 Ohio 的 Cleveland 出生。 我父母親來自
   於紐澤西和紐約。 1945 年戰爭結束, 我們搬回紐澤西然後我在那裡長大。 我很幸運, 雖然在
   家中受的數學教育不多, 但父母給了我藝術、 文學方面的影響, 我現在六十好幾, 回頭看, 這
   些教育對我是分外珍貴的, 如今我對於數學不再如以往一般興奮地參與其中, 至少在我的生
   活中還有其它的事情去做。
—本文訪問者李瑩英任教於台大數學系, 劉太平任職於中研院數學所, 黃藍萱就讀史丹福大學
研究所—