微分动力系统讨论班 - 数学与应用 - SCI论坛

发信人: MITyale(Harvard_Princeton_Stanford), 信区: LectureHall. 本篇人气: 84 标题: 骰子掷上帝吗?-混沌动力学，奇异吸引子发信站: 南京大学小百合站 (Sat Jun 21 17:06:06 2003) 动力学的几何化发端于大约100年前。法国数学家昂利·庞加莱(Henri Poincare)是一个独立独行的人(如果有的话)，但他非常杰出，以致他的许多观点几乎一夜之间就成了正统的观点，当时他发明了相空间概念，这是一个虚构的数学空间，表示给定动力学系统所有可能的运动。为了举一个非力学的例子，让我们来考虑猎食生态系统的群体动力学。此系统中捕食者是猪，被捕食者是块菌 (一种味道奇特、辛辣的真菌)。我们关注的变量是两个群体的规模 ——猪的数目和块菌的数目(两者都相对于某个参考值，如100 万)。这一选择实际上使得两个变量连续，即取带小数位的实数值，而不取整数值。例如，假如猪的参考数目是100万，则17439头猪相当于值0.017439。现在，块菌的自然增长依赖于有多少块菌以及猪吃块菌的速率：猪的增长依赖于猪的头数以及猪吃的块菌数目。于是每个变量的变化率都依赖于这两个变量，我们可把注意力转向群体动力学的微分方程组。我不把方程列出来，因为在这里关键不是方程，而是你用方程干什么。这些方程原则上确定任何初始群体值将如何随时间而变化。例如，假使我们从17439头猪和788444株块菌开始，则你对猪变量引入初始值0.017439，对块菌变量引入初始值0.788444，方程会含蓄地告诉你这些数将如何变化。困难的是使这种含蓄变得清晰：求解方程。但在什么意义上求解方程呢? 经典数学家的自然反应是寻找一个公式，这个公式精确地告诉我们猪头数和块菌株数在任何时刻将是多少。不幸的是，此种“显式解”太罕见，几乎不值得费力去寻找它们，除非方程具有很特殊的、受限制的形式。另一个办法是在计算机上求近似解，但那只能告诉我们这些特定韧始值将发生什么变化，以及我们最想知道的许多不同的初始值将发生什么变化。庞加莱的思想是画一幅图，这幅图显示所有初始值所发生的情况。系统的状态--在某一时刻两个群体的规模——可以表示成平面上的点，用坐标的方法即可表示。例如，我们可能用横坐标代表猪头数，用纵坐标代表块菌株数。上述初始状态对应于横坐标是0.017439、纵坐标是0.788444的点。现在让时间流逝。坐标按照微分方程表达的规则从一个时刻变到下一个时刻，于是对应点运动。依动点划出一条曲线；那条曲线是整个系统未来状态的直观表述。事实上，通过观察这条曲线，不用搞清楚坐标的实际数值，你就可以“看出”重要的动力学特征。例如，如果这曲线闭合成环，则两个群体遵从周期性循环，不断重复同样一些值就像跑道上的赛车每一圈都经过同一个旁观者那样。假如曲线趋近某个特定点并停在那，则群体稳定到一个定态，它们在此都不发生变化——就像耗尽了燃料的赛车。由于幸运的巧合，循环和定态具有重要的生态意义—特别是，它们给群体规模设置了上限和下限。所以肉眼最易看出的这些特征确实是实际事物的特征。并且，许多不相关的细节可以被忽略——例如，不必描述其精确形状，我们就可以看出存在一种闭合环(它代表两个群体循环的合成“波形”)。假如我们试一试一对不同的初始值，那将会发生什么情况? 我们得到第二条曲线。每一对初始值定义一条新曲线。通过画出一整族的此种曲线，我们可以抓住所有初始值之下系统所有可能的行为。这族曲线类似于围绕平面盘旋的一种虚拟数学流体的流线。我们称此平面为系统的相空间，那族盘旋曲线是系统的相图。取代具有各种初始条件的以符号为基础的微分方程概念，我们有了流经猪块菌空间的点的直观几何图象。这仅在其许多点是潜在点而非实际点而有别于普通平面：它们的坐标对应于在适当初始条件下可能出现，但在特定情况下可能不会出现的猪头数和块菌株数。所以，除了从符号到几何的心理转移，还存在从实际向潜在的哲理性的转移。对于任何动力学系统，都可以设想同一种类型的几何图象。有相空间，其坐标是所有变量的值；有相图，即一族表示从所有可能的初始条件出发的所有可能行为的盘旋曲线，这些曲线为微分方程所刻划。这一思想是一大进展，因为我们无需关心微分方程解的精确数值，而可以把注意力集中于相图的宽广范围，使人发挥其最大优势(即惊人的图象处理能力)。作为把全部潜在行为编织起来的一种方式(自然界从中选择实际观察到的行为)的相空间图，在科学中已被广为应用。庞加莱这一大创新所带来的结果，是动力学可借助被称为吸引子(attractor)的几何形状来加以直观化。假如你使一动力学系统从某个初始点出发，观察它长期运作的情况，你往往会发现，它最终围绕相空间中某个明确的形状游荡。例如，曲线可以向一个闭合环旋进，然后绕环永远兜圈子。而且，初始条件的不同选择会导致相同的终末形状。倘若如此，那形状就叫做吸引子。系统长期的动力学特性受其吸引子支配，吸引子的形状决定产生何种类型的动力学特性。例如，趋向于定态的系统，它具有的吸引子是一个点。趋向于周期性地重复同样行为的系统，它具有的吸引子是一个闭环。也就是说，闭环吸引子相当于振荡器。请回忆一下第五章有关振动的小提琴弦的描述：小提琴弦经历一系列最终使它回归到出发点的运动，并将一遍又一遍重复那个系列。我的意思不是小提琴弦以物理环运动，但我对它的描述是隐喻意义上的闭环：运动经过相空间的动态地形而环游。混沌有其自身颇为古怪的几何学意义，它与被称为奇异吸引子的离奇分形形状相联系。蝴蝶效应表明，奇异吸引子上的详细运动不可预先确定，但这并末改变它是吸引子这个事实。设想一下如果把一个乒乓球抛进波涛汹涌的大海，无论你从空中向下丢球，还是从水下让球向上浮，球都会向海面运动。一旦到了海面之后，它就在起伏的波浪中经历一个很复杂的运动路径，但不管这路径多么复杂，球仍然留在海面上或至少很接近海面。在这一图景里，海面是吸引子。因此，尽管有混沌，不论出发点可能是什么，系统最终将很接近它的吸引子。 -- 蒙上眼睛就以为看不见　　　　　　　捂上耳朵就以为听不到而真理在心中创痛在胸口　　　　　还要忍多久还要沉默多久如果热泪可以洗净尘埃　　　　　　　如果热血可以换来自由　　让明天能记得今天的怒吼　　　　　　让世界能看到历史的伤口

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