主题：建模题

第二届南开大学数学建模竞赛试题

试题A：国有股减持过程中的定价问题

背景：

当前中国的上市公司的股本结构有着与其它国家的股本结构截然不同的地方，即大多数股份为不流通的国有股。所谓国有股，就是指它的拥有者为代表全民利益的国家财政部。这部分股是完全不流通的，在几乎所有的上市公司中占有50%__90%的高比例。因此，上市公司的利益分配上完全由这第一大股东支配，形成“一股独大”的局面，在十多年的股市发行中，越来越多的与市场经济和法制不协调的事件被披露出来，严重的干扰了上市公司的法人治理和上市公司“公开，公正，公平”的三公原则。为此，国务院及时的提出了国有股全流通的构想，即在一个时期内分阶段将国有股通过市场变成完全流通的。这就是所谓的国有股减持。国有股减持是一套大工程，牵一发而动全身。其焦点是国有股的定价问题。如果能有一套完整的减持计划和公平的定价方案，那么股民和国家可以达到双赢的目的。为此，国务院和证监委公开向全社会征集各种方案。假如你的队被指定为提交方案者，你将如何给出既有利于国家利益，又有利于广大股民的定价模型，以保证市场的健康发展。

提示：

了解国有股产生的背景。

从网上了解前一阶段关于国有股减持的讨论。

建立你自己的数学模型，如果是改造别人的，一定要阐述清楚你改进的地方。

　

试题B：超额录取留学生的策略

众所周知，选择出国留学学生越来越多。不可避免的，他们需要向国外的大学提出申请，同时需要交纳一定金额的申请费。如果你所申请的学校给你发来“offer”，并且你顺利地通过签证，你就可以预订机票了。

通常说来，国外学校录取留学生的数量A由该校提供给留学生奖学金的经费数决定。但是，出于以下的原因：（1）得到“offer”的学生出于自身的原因（比如收到多封“offer”），未去报到；（2）得到“offer”的学生未能顺利拿到签证。发出“offer”的数量B往往要多于录取留学生的数量A。但是不同的学校面临的情况并不相同，也许收到一所知名学校“offer”的人中，90%的人都会去，而去一所普通学校的人可能不到50%。由于经费有限，如果报到的学生太多，学校往往没有太多的办法。因此，发出“offer”需要一定的策略。

当前的情况为：

学生从一个学校调到另一个学校的情形越来越少。

学生出于各自的偏好，不愿意更换学校。

签证被拒的比例在上升。

所有学校都必须先交申请费，再决定是否考虑发放offer。

问题：

（1）如果奖学金经费C确定，学校该发多少封“offer”？给出最佳方案。

（2）如果你是一个学生，考虑到申请过程中的所有费用，（申请的学校越多，费用越高），同时还能去一个理想的学校，你应该向多少个学校提出申请？