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数学教材只有具有明确的指导思想和定位，具有鲜明的特色和个性，才有可能进入先进的行列，才能逐步成为精品。面对着国内出版的这么多的大学数学教材，如果仔细地观察与分析一下，就可以发现有不少互相雷同的教材，甚至少数粗制滥造的作品；按定位准确、特色鲜明来严格要求，恐怕不及格的也会不在少数。为了帮助改进和改善这种状况，下面我对现有教材可能存在的一些弱点和不足，冒昧地提出一些批评和建议，这同时也反映我对如何编写大学数学教材的一些理念和思考，请大家批评指正。
首先，现有的一些数学教材，在传授数学知识方面，总的应当说还是做得比较好的。一大堆数学的概念、定理、公式与证明，都得到了认真的展现和推演，讲课教师也力图将这些知识灌输到学生的头脑之中，恨不得将学生变成一个活的数学字典，甚至是数学的百科全书，其意甚城，其情可感。但是，无论是教材的编写或是教师的讲授，往往忘记了数学最根本的三件事。哪三件事呢？
一是这些数学知识的来龙去脉。数学并不是无源之水、无本之木，它发展的最根本的源泉是现实世界的实际需要，是有很丰富的现实背景和需求的；而且，有意义的数学结果和内涵，也一定会在现实世界的方方面面得到广泛的应用。不讲来龙去脉，就割断了数学与生动活泼的现实生活的血肉联系，学生怎么会对数学有深入的领悟，怎么会有学习数学的持续的积极性呢？近年来，在大学生数学建模竞赛的基础上，开展了将数学建模的思想和方法融入大学主干数学课程的教学改革实践，在这方面开始取得了一些突破，但还仅仅是开始，是值得大力提倡和认真实践的。
二是数学的精神实质和思想方法，而不仅仅是一些数学知识和证明技巧。只讲知识，不讲精神；只讲技巧，不讲思想，学生只能被教师牵着鼻子走，不可能触类旁通、真正开窍，不可能学到数学的精髓，也不可能真正成才。数学的精神实质和思想方法涉及很多方面，有丰富的内涵，要靠不断的启发诱导和总结体会，才能内化为一个人的觉悟，形成相应的数学素养，使人变得更为聪明、更有智慧，一生受用不尽。忽视了这一点，死记硬背一些数学公式和结论，就只能入宝山而空回了。
三是数学的人文内涵。数学是人类文明的一个重要组成部分和坚实支柱，整个人类文明史是和数学发展史交融在一起的。数学作为一门科学，在人类认识世界和改造世界的过程中起着关键的、不可替代的作用。人们实际上天天享受着数学文化带来的恩惠，但往往浑然不觉、习以为常，我们对此总会感到遗憾甚至抱怨。然而，扪心自问：我们编写的数学教材，我们数学老师的讲授，在这方面又教给了学生多少呢？古人云：“天不生仲尼，万古如长夜”，其实，如果没有数学的发展与进步，我们仍将处于一个如长夜的愚昧状态之中。不启发学生关注数学文化的功能和作用，不促使学生自觉地接受数学文化的熏陶，学生是不可能真正走近数学、了解数学、领悟数学并热爱数学的。
上面所说的这三方面内容，并不需要占用大量的时间和篇幅。但抓住了这三点，就抓住了数学的灵魂，就可以起到画龙点睛的效果，相应的数学教材就会显得充满思想和意蕴，变得生动活泼、趣味盎然；学生对数学的认识和理解就会大不一样，学习也就会更有成效了。
其次，数学不是一个由其种种分支学科组成的杂乱无章的大拼盘，而是一个紧密联系的有机整体。法国过去大学数学的教学就有一个传统：所有的数学课程都是由一个主讲教授讲到底的。讲课人对整个的数学全局在胸，不受学科分支的划分所局限，可以自如地从各个不同的角度讲清数学的概念和问题的实质。苏联斯米尔诺夫主编的《高等数学教程》，共五卷，每卷还包括若干分册，也是将差不多全部的数学内容一口气讲到底的。现在大学数学的教学，是分解为若干单独的课程来进行的，每个课程对应于一个分支学科。由于数学科学已是由纯粹数学与应用数学的众多分支学科以及种种相关交叉学科组成的庞大的学科体系，这种适当分门别类的课程设置方式是必要的。但是，对应于一个分支学科的每一门单独的课程，它在数学科学这一大家庭中是和其他种种分支学科紧密联系着的，决不是一个自我封闭并孤芳自赏的独立王国，相应的教材及教学也不能片面地追求天衣无缝和自我完善。相反，要尽量创造机会与数学的其他分支和数学之外的种种学科沟通联系，互通有无，并汲取营养，使相应的课程在开放的状态中显得更有生机活力，使学生的认识更加全面和深刻。对照这一要求，我们现在每门数学课的教材及教学，更多的是强调这一分支学科的特点和特色，但却削弱、淡化甚至割裂了与其他方面的联系，追求的是一种自我封闭、作茧自缚的状态，实际上陷入王婆卖瓜、自卖自夸的局面。这样做，会造成学生认识上的片面性，抑制了学生的创造性思维和想象，造成了课程间不必要的重叠和隔阂，也加重了学生的负担。可以设想一下，如果在一些课程之间做一些有机的结合，并在课程体系的设计方面相应地精简与改造一些原有的课程，效果会不会更好呢？
举例来说，现在的数学分析与数值分析是截然分开的两门课，一门讲理论，一门讲计算，互不通气，各守门户。但从解决现实世界中实际问题的角度看，如果将二者结合起来，开出一门“数学分析与数值分析”的课，会不会更好？会不会反而使同学的认识更加全面而深刻一些呢？对函数y=f(x)，在数学分析中讲得头头是道，似乎是天衣无缝，但在实际应用中的情况却远远没有这么简单。为了得到这样一个函数，为了对一个任意给定的自变量x0，得到相应的函数值y0＝f(x0)，往往要经过必要的试验和测量，有时甚至要求解相应的偏微分方程的边值问题才能决定。因此，花了很大力气，实际上能得到的，最多也就是函数在若干离散点上的值，而且由于测量难免的误差，这些值还只是一些近似值。了解了这一点，数学分析中对初等函数用得很成功的那一套就碰壁了。如果这时有的放矢地介绍插值的方法和理论，不仅顺其自然，而且雪中送炭。数学分析方法和数值分析方法的相互联系、功能互补，只有会使学生对问题认识得更深刻，对解决现实问题更有信心，也一定会变得更加灵活和聪明起来。再如求导，从差商取极限就得到导数。对于初等函数或由初等函数组成的函数来说，求导自然是不成问题的，但若只知道在离散点上的函数值，要想对导数有一个较好的了解，一个自然的方案就是由导数后退到差商，而数值微分的理论和方法就可以由此展开了。再如积分，数学分析中能够积分出来的函数本来不是很多，大部分情况下的积分是算不出来的，这是我们学积分时常有的遗憾，而要算出一个复杂的积分也往往很使人头疼。难道我们就要在一棵树上吊死吗？当然不会！利用函数在离散点上的值，就可以用曲线下的相应矩形或梯形面积求出积分的近似值，各种数值积分的方法和理论就可以自然而然地展现出来。如果真的将数学分析和数值分析这两门课有机结合，相信可以减少不少互相重叠的叙述，可以增加同学的深入理解和实际能力，说不定是一个数学教学改革的突破点，而且一定会形成自己的特色和品味，是不是可以试一试呢？
对数学物理方程和偏微分方程数值解这两门课程，也有类似的情况。一方面，真正能够显式求解的偏微分方程的定解问题实际上为数很少，在应用中绝大多数的偏微分方程定解问题都是用数值方法求解的。另一方面，偏微分方程的理论对设计其数值解法或算法又起着至关重要的指导作用，不同的偏微分方程数值解法，实际上是与对偏微分方程的解的不同理解与定义密切对应的。将这两方面有机地结合起来，难道不可以起到既节省时间精力又加深理解这样相得益彰的效果吗？！
再说泛函分析，讲的是无穷维空间的理论。然而，就无穷维空间讲无穷维空间，不了解无穷维空间和有限维空间到底有什么异同，效果必不会好。由于线性代数讲的是有限维空间的理论，如果在泛函分析的教材及教学中，不时地比照线性代数中的相关概念和内容，揭示其间的联系与区别，决不是打横跑、跑野马、不务正业，相反，可以真正推动学生对泛函分析的深入理解，起到事半功倍之效，难道不值得大力提倡吗？
这样的例子，可以举出很多。从数学整体的角度打破学科分工的局限，打破不同专业与教研组之间的隔阂，加强课程间的联系和呼应，精心设计一些有机结合的教材和课程，难道不能闯出一条有特色的新路来吗？
再次，根据培养优秀创新人才的要求，要鼓励和启发学生的好奇心和求知欲，要推动学生勇于提问、善于思考，使思维一直处于一种开放的活跃的状态。学生不仅要善于学，更要善于问，而且要问在点子上，问出水平来。看来以往强调要培养学生分析问题和解决问题的能力，固然十分重要，但仅仅会解决别人提出的问题，仅仅会熟练解题，仅仅会证明别人已经得到的结论，还远远不够，还应该强调要培养学生发现问题和提出问题的能力，使他们逐步具备发明和创新的潜质。从这个意义上说，一门课程和教材，如果给学生造成一种尽善尽美、天衣无缝的印象，没有任何缺点，没有什么不足，使学生感到没有任何思考的余地，只需生吞活剥、死记硬背，恐怕恰恰是一个不好的表征，也完全不符合实际的状况，是一个明显的误导。
其实，每一门学科，都有它的独特优势，有它的拿手好戏，但同时也决不可能十全十美，都必然有它的弱点和软肋，都有它解决不了或解决不彻底的问题。前面我们讲微积分的例子，就已经充分地说明了这一点。这儿再举一个例子。函数求极值，在微积分中是一个经典的课题，似乎已经被彻底搞定了，至少有关教材给我们的印象就是如此。其实，利用函数在极值点的一阶导数为零的必要条件，真正能够解决到彻底的极值问题往往要假设函数为凸的条件。对于复杂一些的函数，求极值就相当困难，而在整个定义范围中求其最值（即整体极值）更是难上加难。不仅在数学理论分析的角度看十分困难，就是在数值近似分析的角度看也很困难，因为对任何一个给定的算法都一定存在使其失效的例子。现代规划的理论和方法，本质上面对的就是这一类的困难，问题还远远没有解决。
然而，我们的很多教材，总是在竭力宣传这一门学科成功的一面，举的例子、安排的习题都是挑选那些最能显示理论和方法威力的，而将自己无能为力或有力使不上的众多生动活泼并颇能启发思考的情况束之高阁，不使它们露面。这种回避矛盾、掩耳盗铃的做法其实很不可取。最大的问题就是使学生不明真相，觉得学了这些内容以后可以打遍天下无敌手，因而只满足于囫囵吞枣、死记硬背，从而无所作为，使脑筋处于一种盲目的状态。这必然扼杀了他们的好奇心和求知欲，扼杀了他们思考、探索、发现、发明的意愿和勇气。而如果在教材中既讲成功的一面，又讲不足的一面，既讲有用的理论和方法，又讲可能面临的难以完满解决的问题，学生的学习积极性只会得到激发，学生对教材内容的理解只会更深，而创造和探索的愿望更会从他们的内心深处迸发出来，培养优秀的创新人才就更有保障和希望了。如果我们的教材不仅向学生传授知识，而且能激起学生创造的激情和求知的渴望，有助于造就未来出色的创新人才，这是多么值得欢欣鼓舞的事啊！
最后，讲一下针对各有关专业的数学教材问题。既然是针对某一专业（例如工科、医科、农科、经管等等专业）的数学教材，就应该密切联系该类专业的实际，充分针对该类专业的迫切需求和特殊要求。教材的编写者就应该长期深入该专业，和相应的专业工作人员取得共同的语言，深入地了解他们的工作，尽可能地挖掘该专业与数学的结合点，最好还能和该专业的人员长期协作，参与解决一些该专业的重要课题，取得第一手的经验和材料。经过了这一个过程，针对该专业编出来的教材，才能特色鲜明，有血有肉，从而深受该专业的欢迎，产生重要的影响。这是专业类大学数学教材应有的定位和标准。现在，简单地将专业类大学数学教材化约为各种不同层次的简化教材的做法不胜枚举，是不值得提倡的。在这一领域内，相信经过艰苦的结合与努力，一批有特色、高品位、深受有关专业欢迎的教材，将会改变现有的这种初级阶段的状态，打造出一片崭新而有深远影响的局面来。
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Post By：2013/10/10 14:43:30 [只看该作者]
