2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛A题评阅要点

[说明]本要点仅供参考，各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答，自主地进行评阅。

该问题是来自于加油站设备研究与生产企业的一个实际课题，问题由两大部分组成：

（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于“正问题”。

（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于“反问题”。

具体需要把握以下几个方面：

第一部分：小椭圆型实验罐的有关问题

（1）要明确给出小椭圆型油罐正常体位（无变位）的不同油位高度与储油量的计算模型和公式，正确的结果(具体表达形式不唯一)是：

，

其中 分别为罐体截面椭圆的长半轴、短半轴和罐体长度， 为罐内的油位高度。通过代入几何参数计算得到正常（即标准）的罐容表对应值。

表1：正常情况下小椭圆罐的罐容表部分结果  

（2）讨论罐体变位的影响，要求给出纵向倾斜变位后修正模型，用不同方法可能有不同的表达形式，但需要分别考虑罐体两端有油/无油的不同情况。将变位参数代入模型，计算出修正后的罐容表标定值，并与正常的标定值进行比较，分析罐体变位的影响。实际上，对于纵向倾斜变位的影响明显，最大误差在257L以上，平均误差达到190L以上，平均相对误差达30%以上。

表2：小椭圆罐的修正罐容表的部分结果（ ）

第二部分：实际大储油罐的有关问题

（1）根据储油罐纵向的变位方向，对于不同的油位高度，分别考虑油罐的两端有油和一端有油的情况建模分析，可以得到罐内实际储油量 与纵向倾斜变位参数 、横向偏转变位参数 和油位高度 的关系模型，即 。详细的解析模型表述形式比较复杂，重在分析过程，注意油罐两端含油的不同情况。

当然，也可能通过实际数据采用数值方法、工程方法或几何方法等近似方法实现，但应关注引入变位参数的方法和表示形式的合理性。

（2）必须明确给出变位参数的辨识准则。

因为实际罐内油量初值未知，所以罐内储油量的准确值是未知的。由附件2的检测数据可以知道不同时刻的出油量 ，同时可以计算出相应油位高度的改变量 ，并由模型表达式 计算得到实际储油量的改变量Δ ，问题可归结为求解非线性最小二乘问题：

，或 等。

利用附件2中的部分数据（如前半部分），借助于工具软件或各种数值方法求解得到参数估计值 。其具体的数值用不同的方法会有差别，但结果应是纵向倾斜变位角 略大于2度，横向偏转变位角影响不敏感。

如果直接使用附件2中的显示储油量 和对应的 做参数估计，即求问题

的解，这是不对的，因为 是无变位时的显示储油量。若储油量的体积公式 是正确的，则用该方法得到的参数 值会很小。

如果经分析说明横向偏转变位的影响不大，则可以直接考虑纵向变位的单参数辨识。

（3）根据修正模型 及参数估计值 ，可以得到变位后的罐容表（参见表3）。并利用附件2的实际检测数据（如后半部分）分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

表3：变位后储油罐的修正罐容表部分结果（使用参数 ）

   **用不同的方法，结果会有误差。

 （4）为便于比较计算结果，这里给出实际储油罐无变位情况的罐容表部分标定值（见表4）。

表4：无变位情况下油罐的罐容表部分结果

本参考要点给出的仅是一种可行解决方法，学生可以使用各种数值方法、工程方法和近似处理方法，请根据实际情况评判。