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Israil Moiseevich Gelfand, one of the most influential mathematicians of the 20th century, died October 5 at the age of 96. He was the author of more than 800 articles and 30 books in many areas of mathematics--including commutative normed rings, representation theory, generalized functions, and partial differential equations--and in theoretical biology. Gelfand was born in the Ukraine and received his Ph.D. in 1935 from Moscow State University under the direction of Andrei Kolmogorov. Five years later he received his D.Sc., also from Moscow State University. He was professor at Moscow State University from 1941 until 1990 at which time Gelfand joined the faculty at Rutgers University. During his lifetime he received many awards, among them the State Prize of the USSR (1953), the Lenin Prize (1956), the Wolf Prize (1978), the Kyoto Prize (1989), and a MacArthur Fellowship (1994). In 2005 he received the Steele Prize for Lifetime Achievement from the AMS for his "profound influence on many fields of research through his own work and through his interactions with other mathematicians, including students." In his response, Gelfand wrote, "Mathematics for me is a universal and adequate language of sciences, and it is an example of how people of different cultures and backgrounds can communicate and work together. This is extremely important in our times." Read more about Gelfand\'s work in the 2005 Steele Prize citation (pdf) in the April 2005 Notices (pages 441-442) and in his MacTutor biography. [Item posted 10/6/09]

http://lovernest.blog.sohu.com/45789435.html

盖尔范德，И．M．1913年9月2日生于乌克兰奥德萨省红窗市．数学、数学物理、生物学． 

　　盖尔范德出生于一个贫穷的犹太人家庭．由于家境贫寒，甚至未能完成中等教育．他在中学时就对数学极感兴趣，试图自学高等数学，但买不起书．他不得不趁得阑尾炎需动手术之机向双亲要求，声言如不给他买书，就不去敖德萨医院．他终于得到了高等数学教材第一册(父亲的钱只够买一本)，在医院用9天时间自修了平面解析几何和微分学．据他回忆，中学时实际上就独立推出了欧拉-马克劳林公式、伯努利数、前n个自然数p次幂的求和公式等，并培养了解题后继续思考的习惯．

　　1930年2月，盖尔范德随父去莫斯科投靠远亲．起初生活困难，经常失业，只得打工做杂活，包括在列宁图书馆做检查员．闲暇时他都在图书馆读书，补充在中学及未结业的职业技术学校没有学到的知识．在图书馆，他结识了不少大学生，并到莫斯科大学旁听数学课，还参加讨论班．他曾说他平生第一所数学学校便是M．A．拉甫伦捷夫主持的复变函数讨论班*年18岁时他即在夜校讲授初等数学，后来也教高等数学．

　　1932年，从未上过正规大学的盖尔范德被莫斯科大学录取为研究生，师从A．H．柯尔莫哥洛夫．他后来说，从莫斯科大学优秀数学家那里他学到了许多知识，而从柯尔莫哥洛夫身上学到最多，使他懂得当代数学家应该成为自然哲学家．

　　柯尔莫哥洛夫让盖尔范德在新兴的泛函分析领域从事研究．1935年，盖尔范德以关于抽象函数和线性算子的论文获副博士学位．在该文和稍早的另一篇论文中，他得到了泛函分析中不少基本结果，例如完全赋范空间的“桶型”性质，通过二次对偶空间中的元素定义现称的盖尔范德-佩蒂斯积分等．他还在证明过程中建立了现在泛函分析中通用的通过连续线性泛函转化为经典分析中对象的方法．

　　1940年，盖尔范德获苏联物理数学科学博士学位．在学位论文中，他创建了赋范环(现称巴拿赫代数)论．在短短2页的论文中，他建立了赋范环论的基本框架．在紧接着发表的论文(文献Vol．l，PP．172—174)中，他应用赋范环论只用5行篇幅证明了N．维纳(Wiener)早先在一篇长文中证明的著名定理：如果一个不取零值的函数可展开为绝对收敛的傅里叶级数，则其倒数也可展开为绝对收敛的傅里叶级数．他还指明用类似方法可以证明一系列定理．这项成就显示了赋范环论的威力，引起国际数学界极大兴趣．1943年起盖尔范德任莫斯科大学教授，后来还领导苏联科学院应用数学研究所的一个部门．1967年他主持创办《泛函分析及其应用》杂志并任主编．

　　从20世纪30年代后期以来，盖尔范德在纯粹数学和应用数学的众多分支进行了大量卓有成效的研究．50年代末，他开始研究生物学和生理学．截止到1992年，他本人或与别人合作发表论文近500篇．其中概观性论文约占7％；关于泛函分析和调和分析的约占6％；关于群表示论的约占16％；关于积分几何与广义函数的约占8％；关于无穷维李代数上同调的约占6％；关于微分方程和数学物理的约占9％；关于生物学和生理学的约占23％；其他25％．他还写作教材或专著18本．1987年至1989年，施普林格出版社出版了《盖尔范德文选》．此文选经作者审定，凡3卷，共收入论文167篇．

　　盖尔范德于1953年当选为苏联科学院通讯院士，1984年当选为院士．他于1966年至1970年任莫斯科数学会主席，现为该会名誉会员．他是许多著名科学院或学会的成员，其中有英国皇家学会、美国国家科学院、美国科学与艺术学院、巴黎科学院、瑞典皇家科学院．他还是牛津大学、哈佛大学、巴黎大学的名誉博士．在国内，他曾获一次列宁奖、两次国家奖．1978年首次颁发沃尔夫奖时，他与C．L．西格尔(Siegel)一起荣获数学奖．

　　盖尔范德曾在国际数学家大会上作过三次全会报告(1954，1962，1970)．这颇能说明他在当代数学发展中的突出地位．迄今为止，只有V．沃尔泰拉(Volterra)做过4次全会报告；而做过三次的，另外也只有三位，就是E．嘉当(Cartan)、L．阿尔福斯(Ahlfors)和A．韦伊(Weil)．

　　20世纪30年代中期，J．冯·诺伊曼(von Neumann)建立了冯·诺伊曼代数的艰深理论．多少有点奇怪的是，虽然当时也有人进行过关于交换赋范代数的零碎研究，却一直没有建立起一般理论．直到30年代末40年代初，才由盖尔范德完整地创建了巴拿赫代数的系统理论。

　　在定义一般赋范环R后，盖尔范德极富创造性地引进并抓住极大理想这一基本概念．他建立了R的特征标空间到R的极大理想的空间之间的一一对应，定义了现称为盖尔范德变换的映射，并证明每个赋范环R都能同态地映到定义于R的极大理想构成的豪斯多夫空间上的连续函数环中，而这一同态为同构的必要充分条件是R中不存在广义幂零元．他还证明赋范域必同构于复数域(盖尔范德-马祖尔定理)．

　　盖尔范德另一极富创造性的思想，是把在此以前希尔伯特空间中线性算子的谱论推广到赋范代数的元素上，从而建立了一般谱论．对于R的元素x，他定义使得x-ζe(e是R的单位元)在R中不可逆的复数ζ的集合为x的谱．他洞察到为使这个概念富有成果，应假定R是完全的，这就是巴拿赫代数．他证明巴拿赫代数中任一元素x的谱是非空紧集．他称以原点为中心、包合x的谱的最小圆的半径为x的谱半径，并

　　盖尔范德创建的巴拿赫代数理论，几十年来一直是泛函分析最活跃的研究领域之一．他关于极大理想的观念，不仅革新了调和分析，而且对代数几何的发展产生了很大影响．他建立的一般谱论，使得20世纪前30年中由D．希尔伯特(Hilbert)和冯·诺伊曼等建立的希尔伯特空间中算子的谱论极大地简单化和一般化．

　　在辉煌地建立赋范环论后，盖尔范德［由M．A．奈玛克(HaMAPK)合作］又创建了c^*代数的一般理论．本来c^*代数指的是希尔伯特空间中的一致闭算子代数，但盖尔范德和奈玛克在其奠基性论文中指出无须使用希尔伯特空间，只要在赋范环中引进称为对合的映射x→x^*(满足(x+y)^*=x^*+y^*，(xy)^*=y^*x^*，(λx)^*=λx^*，(x^*)^*=x，||x^*x||=||x||²)，即可定义“一般的具有对合的赋范环”．文中证明了下述基本结果：每个非交换的具有对合的赋范环可实现为某个希尔伯特空间中线性连续算子连同其自然对合(对应到伴随算子)所构成的环．具有对合的巴拿赫代数，就是现称的c^*代数．通过c^*代数上的态，可以得到著名的GNS(盖尔范德-奈玛克-西格尔)构造．运用盖尔范德的理论，就能得到先前F．里斯(Riesz)、冯·诺伊曼的“单位分解理论”和E．赫林格(Hellinser)、H．哈恩(Hahn)的“重数理论”的现代描述．到了50年代，c^*代数已成为泛函分析的一个基本工具．由于可以把量子系统的观测量代数解释为c^*代数，而这时量子系统的状态相当于c^*代数上的态，因此c^*代数在60至70年代关于量子场论的公理化处理中起了主导作用．

　　盖尔范德［由дA．拉伊科夫(PaKOB)合作］还运用赋范环论，把实数直线上的调和分析推广到局部紧阿贝尔群上，同韦伊的工作一起，完整地建立了局部紧阿贝尔群上的调和分析．他指出局部紧阿贝尔群G上关于哈尔测度为可积的函数的全休L¹(G)构成一个巴拿赫代数，定义L¹(G)中元素f的傅里叶变换f，建立其反演公式以及相当于帕塞瓦尔等式和普朗切雷尔定理的命题，证明L¹(G)的闭理想I等于L¹(G)的必要充分条件是存在f∈L¹(G)，使对G的每个特征标x有f(x)≠0，当G为实数直线时，这个命题包含维纳的广义陶伯型定理．他(由奈玛克合作)用赋范环论研究带调和函数，证明对于群G在希尔伯特空间H中的不可约酉表示T和G的子群U，H中至多含有一个关于算子T_u(u∈U)为不变的向量，从而为带调和函数论建立了基础．

　　盖尔范德一直十分关注分析中的代数问题．从40年代初期起，他就研究连续群的表示理论，把它看作体现代数与分析紧密结合的最为激动人心的分支．事实上，表示论也确实是40年代以来数学中最活跃的研究领域之一．

　　20世纪初，F．G．弗罗贝尼乌斯(Frobenius)和I．舒尔(Schur)研究了有限群的有限维表示．后来E．嘉当和H．外尔(Weyl)对紧李群的有限维酉表示进行了基础性研究．由于物理学发展的需要，E．P．威格纳(Wigner)在其关于非齐次洛伦茨群的论文中首次研究了无限维酉表示．

　　在1943年的论文中，盖尔范德(由拉伊科夫合作)首先正确地提出表示论的基本问题：“表示为酉矩阵的自然推广是表示为希尔伯特空间中的酉算子”．文中基于酉表示与正定函数之间的联系，证明每个局部紧群具有不可约酉表示的完全系．这是抽象调和分析和群表示论中最重要的定理之一，为以后大量研究提供了基础．

　　接着，从1944至1948年，盖尔范德(由奈玛克合作)在一系列论文(文献， Vol．2，PP．41—137；；)中，构造了经典复李群的无穷维表示．他们从简单明显的公式，给出2阶幺模复矩阵群SL(2，C)的所有不可约酉表示，把它们分为主系列和补系列，证明SL(2，C)的任一酉表示可分解为主系列和补系列中表示的直和．由于SL(2，C)局部同构于洛伦茨群，所以这一工作也首次给出了洛伦茨群的全部酉表示，从而也是对理论物理的一个贡献．这项工作同1947年V．巴格曼(Bargmann)关于SL(2，R)不可约酉表示的研究一起，成为酉表示论的真正起点．

　　盖尔范德进一步研究了复半单李群的不可约酉表示．以n阶幺模复个参数的函数构成的空间中．他引进“广义线性元素”z，在z的空间中引进适当的测度，考虑关于此测度为平方可积的函数的空间H．对于g∈G，由T^gf(z)=f(zg)α(zg)确定G到H中的算子T^g(α由T_g1g2=T_g1T_g2和T^g为酉算子来确定)．这样定义的酉表示都是不可约的．按照在H上引进内积的不同方式，把这些表示分为主系列和补系列；考虑“具有删节的广义线性元素”，得到退化主系列和退化补系列．他对每种不可约表示求出相应的特征标的具体形式．他定义了经典群不可约酉表示的迹，得到其显式表示，并证明在不计等价意义下表示为其迹唯一决定．

　　对于k为任意局部紧非离散域时SL(2，k)的酉表示，他[由M．И．戈拉叶夫(ΓpaeB)合作]建立了统一的理论，完整列举了SL(2，k)的不可约酉表示，指出除主系列和补系列外，还有3个离散表示系列和1个奇异表示系列，并用特征标给出普朗切雷尔公式(文献 Vo1．2，pp．450—456；文献，VI，第2章)．

　　由于数学与流体力学、量子场论中常出现无穷维李群，盖尔范德[由戈拉叶夫、A．M．韦尔希克(BepШИk)等合作]对无穷维酉表示也进行了很多研究．例如，对于具有规范理论背景的群Gx(黎曼流形X上取值于紧半单李群G中的光滑函数组成的群)，借助毛瑞尔-嘉当闭上链，构造出Gx在福克空间expX上的表示系列，证明当dimX≥4时这些表示是不可约的．(后来别人证明dimX=3时是不可约的而dimX=1时则是可约的．)

　　盖尔范德对自守形式作了重要研究，他认为自守函数论中几乎所有问题都可陈述为把给定半单李群G在函数空间中的表示分解为不可约表示．在1952年关于常负曲率流形上测地流的论文(文献，Vo1．2，PP．321—327，由C．B．福明(ФOMИH)合作)中，他证明自守形式的空间的维数等于离散序列的表示在给定表示中出现的重数．后来他又由И．И．皮亚捷茨基-沙皮罗合作，对半单李群G在空间G／T(T是G子群)中表示的谱进行了系统研究((959)，pp．171—194；；，VI))，得到了盖尔范德-皮亚捷茨基-沙皮罗互反律(G／T上正则表示中不可约表示U的重数等于U的所有自守形式构成的线性空间的维数)和迹公式．

　　盖尔范德对表示论的研究历时40余年，几乎对这个领域的所有方面都有建树．例如，他在研究李代数的包络代数时提出的现称为盖尔范德-基里洛夫维数的概念(文献，Vo1．2，pp．613—630)，导致V．卡茨(Kac)对这种维数为有限的代数进行分类，进而提出在理论物理中很有用的卡茨-穆迪代数．

　　盖尔范德关于经典群的无穷维表示可以与有限维表示一样具有清晰优美的描述的基本观点，已被证明是十分深邃的．尽管像E．嘉当、外尔、A．赛尔伯格(Selberg)、韦伊这样的大师都对表示论进行过研究，但按A．A．基里洛夫的范围广阔、方法深刻、结果完善而言，盖尔范德是无与伦比的